Вопросы, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какой угол называется центральным углом?

2. Как определяется градусная мера дуги?

3. Что называется углом, вписанным в окружность?

4. Сформулируйте и докажите теорему об измерении угла, вписанного в окружность.

5. Чему равна градусная мера вписанного в окружность угла, опирающегося на полуокружность?

1. Какой угол называется центральным углом?

Центральным углом в окружности называется угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность.

Ответ:

2. Как определяется градусная мера дуги?

Градусная мера дуги окружности определяется как градусная мера центрального угла, который опирается на эту дугу.

Ответ:

3. Что называется углом, вписанным в окружность?

Углом, вписанным в окружность, называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Ответ:

4. Сформулируйте и докажите теорему об измерении угла, вписанного в окружность.

Теорема: Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Решение

Доказательство рассмотрим в трех случаях:

1. Случай 1: Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

Пусть вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, и сторона $AB$ проходит через центр $O$. Тогда $AB$ является диаметром. Рассмотрим треугольник $BOC$. Так как $OB$ и $OC$ - радиусы, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$.

Угол $AOC$ является внешним углом для треугольника $BOC$. По свойству внешнего угла треугольника, $\angle AOC = \angle OBC + \angle OCB$.

Поскольку $\angle OBC = \angle OCB$, то $\angle AOC = 2 \cdot \angle OBC$.

Угол $AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$. По определению, градусная мера дуги $AC$ равна градусной мере центрального угла $AOC$. То есть, $\text{дуга } AC = \angle AOC$.

Таким образом, $\text{дуга } AC = 2 \cdot \angle OBC$.

Отсюда, $\angle OBC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$. Поскольку $\angle OBC$ - это наш вписанный угол $ABC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

2. Случай 2: Центр окружности лежит внутри вписанного угла.

Пусть вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, и центр $O$ лежит внутри угла. Проведем через вершину $B$ и центр $O$ диаметр $BD$. Этот диаметр разделит угол $ABC$ на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Он также разделит дугу $AC$ на две дуги: $AD$ и $DC$.

Для угла $ABD$ и дуги $AD$ применим Случай 1, так как сторона $BD$ проходит через центр. Следовательно, $\angle ABD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD$.

Аналогично, для угла $DBC$ и дуги $DC$ применим Случай 1. Следовательно, $\angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC$.

Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } AD + \frac{1}{2} \text{дуги } DC = \frac{1}{2} (\text{дуги } AD + \text{дуги } DC)$.

Поскольку $\text{дуга } AD + \text{дуга } DC = \text{дуга } AC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

3. Случай 3: Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Пусть вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, и центр $O$ лежит вне угла. Проведем через вершину $B$ и центр $O$ диаметр $BD$.

Угол $ABC$ может быть выражен как разность углов $DBC$ и $DBA$. То есть, $\angle ABC = \angle DBC - \angle DBA$.

Для угла $DBC$ и дуги $DC$ применим Случай 1. Следовательно, $\angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC$.

Для угла $DBA$ и дуги $DA$ применим Случай 1. Следовательно, $\angle DBA = \frac{1}{2} \text{дуги } DA$.

Тогда $\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC - \frac{1}{2} \text{дуги } DA = \frac{1}{2} (\text{дуги } DC - \text{дуги } DA)$.

Поскольку $\text{дуга } DC - \text{дуга } DA = \text{дуга } AC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

Таким образом, теорема доказана для всех случаев.

Ответ:

5. Чему равна градусная мера вписанного в окружность угла, опирающегося на полуокружность?

Если вписанный угол опирается на полуокружность, это означает, что дуга, на которую он опирается, составляет половину окружности. Градусная мера всей окружности равна $360^{\circ}$. Следовательно, градусная мера полуокружности равна $\frac{1}{2} \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ}$.

Согласно теореме о вписанном угле (доказанной в пункте 4), градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Таким образом, если дуга равна $180^{\circ}$, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу, будет равен $\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$.

Это означает, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом.

Ответ: $90^{\circ}$.