Номер 256, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

256. В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CK$ соответственно равны 1 дм и 2 дм, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите $AC$.

Дано

Остроугольный треугольник $ABC$.

Высота $AH = 1$ дм.

Высота $CK = 2$ дм.

Угол между высотами $AH$ и $CK$ равен $60^\circ$.

Перевод в систему СИ:

$AH = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

$CK = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$AC$

Решение

Пусть $O$ — точка пересечения высот $AH$ и $CK$ (ортоцентр). Поскольку треугольник $ABC$ остроугольный, ортоцентр $O$ находится внутри треугольника.

Рассмотрим четырехугольник $BHOK$. Углы $\angle BHO$ и $\angle BKO$ прямые, так как $AH \perp BC$ и $CK \perp AB$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, $\angle B + \angle HOK = 180^\circ$.

Угол между высотами $AH$ и $CK$ задан как $60^\circ$. Это означает, что один из углов, образованных пересечением этих линий (например, $\angle AOK$ или $\angle COH$), равен $60^\circ$. Тогда смежный с ним угол, например $\angle HOK$, равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Если бы $\angle HOK$ был равен $60^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Однако, по условию, треугольник $ABC$ остроугольный, а значит, все его углы должны быть меньше $90^\circ$. Следовательно, $\angle B$ не может быть $120^\circ$.

Значит, острый угол между высотами, который равен $60^\circ$, это $\angle AOK$ или $\angle COH$. Тогда $\angle HOK = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Используя соотношение $\angle B + \angle HOK = 180^\circ$, получаем:

$\angle B + 120^\circ = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Это значение угла $B$ соответствует условию остроугольного треугольника.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотами.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $H$ на $BC$):

$AH = AB \sin(\angle B)$

$1 = AB \sin(60^\circ)$

$1 = AB \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB = \frac{2}{\sqrt{3}}$ дм.

В прямоугольном треугольнике $CKB$ (где $K$ на $AB$):

$CK = CB \sin(\angle B)$

$2 = CB \sin(60^\circ)$

$2 = CB \frac{\sqrt{3}}{2}$

$CB = \frac{4}{\sqrt{3}}$ дм.

Теперь, зная две стороны ($AB$ и $CB$) и угол между ними ($\angle B$), мы можем найти сторону $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + CB^2 - 2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \cdot \cos(60^\circ)$

$AC^2 = \frac{4}{3} + \frac{16}{3} - 2 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = \frac{20}{3} - \frac{8}{3}$

$AC^2 = \frac{12}{3}$

$AC^2 = 4$

$AC = \sqrt{4}$

$AC = 2$ дм.

Ответ:

$AC = 2$ дм