Номер 261, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

261. Постройте вписанный в окружность угол, равный:

а) $45^\circ$;

б) $60^\circ$;

в) $90^\circ$;

г) $150^\circ$.

Для построения вписанного угла в окружность используем свойство, что величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Соответственно, чтобы построить вписанный угол заданной величины, необходимо построить центральный угол, равный удвоенной величине искомого вписанного угла, или найти дугу, которая в два раза больше искомого угла.

a) 45°

Дано: Угол, который необходимо построить: $\alpha = 45^\circ$

Найти: Построить вписанный в окружность угол, равный $45^\circ$.

Решение

1. Начертите окружность с центром $O$.
2. Проведите два взаимно перпендикулярных радиуса $OA$ и $OB$. Центральный угол $AOB$ будет равен $90^\circ$. Меньшая дуга $AB$ составляет $90^\circ$.
3. Отметьте любую точку $C$ на окружности, лежащую на большей дуге $AB$.
4. Соедините точки $A$, $C$ и $B$. Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на меньшую дугу $AB$.
5. Величина вписанного угла $ACB$ будет равна половине меры меньшей дуги $AB$, то есть $ACB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: Вписанный угол, равный $45^\circ$, построен.

б) 60°

Дано: Угол, который необходимо построить: $\alpha = 60^\circ$

Найти: Построить вписанный в окружность угол, равный $60^\circ$.

Решение

1. Начертите окружность с центром $O$.
2. Проведите радиус $OA$.
3. Постройте центральный угол $AOC$ равный $120^\circ$. Это можно сделать следующим образом:
   • С помощью циркуля, установите ножку в точку $A$ и проведите дугу радиусом $OA$, пересекающую окружность в точке $B$. Угол $AOB$ будет $60^\circ$ (так как треугольник $AOB$ равносторонний).
   • Не меняя раствора циркуля, установите ножку в точку $B$ и проведите дугу, пересекающую окружность в точке $C$. Угол $BOC$ будет $60^\circ$.
   • Тогда центральный угол $AOC = AOB + BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Меньшая дуга $AC$ составляет $120^\circ$.
4. Отметьте любую точку $D$ на окружности, лежащую на большей дуге $AC$.
5. Соедините точки $A$, $D$ и $C$. Угол $ADC$ является вписанным углом, опирающимся на меньшую дугу $AC$.
6. Величина вписанного угла $ADC$ будет равна половине меры меньшей дуги $AC$, то есть $ADC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: Вписанный угол, равный $60^\circ$, построен.

в) 90°

Дано: Угол, который необходимо построить: $\alpha = 90^\circ$

Найти: Построить вписанный в окружность угол, равный $90^\circ$.

Решение

1. Начертите окружность с центром $O$.
2. Проведите через центр $O$ диаметр $AB$. Дуга $AB$ (полуокружность) составляет $180^\circ$.
3. Отметьте любую точку $C$ на окружности, не совпадающую с точками $A$ и $B$.
4. Соедините точки $A$, $C$ и $B$. Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$ (полуокружность).
5. Величина вписанного угла $ACB$ будет равна половине меры дуги, на которую он опирается, то есть $ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Ответ: Вписанный угол, равный $90^\circ$, построен.

г) 150°

Дано: Угол, который необходимо построить: $\alpha = 150^\circ$

Найти: Построить вписанный в окружность угол, равный $150^\circ$.

Решение

1. Начертите окружность с центром $O$.
2. Проведите радиус $OA$.
3. Постройте центральный угол $AOB$ равный $60^\circ$. Это можно сделать следующим образом:
   • С помощью циркуля, установите ножку в точку $A$ и проведите дугу радиусом $OA$, пересекающую окружность в точке $B$.
   • Центральный угол $AOB$ будет $60^\circ$, так как треугольник $AOB$ является равносторонним (стороны $OA$, $OB$, $AB$ равны радиусу). Меньшая дуга $AB$ составляет $60^\circ$, а большая дуга $AB$ составляет $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.
4. Отметьте любую точку $C$ на окружности, лежащую на меньшей дуге $AB$.
5. Соедините точки $A$, $C$ и $B$. Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на большую дугу $AB$.
6. Величина вписанного угла $ACB$ будет равна половине меры дуги, на которую он опирается, то есть $ACB = \frac{1}{2} \cdot 300^\circ = 150^\circ$.

Ответ: Вписанный угол, равный $150^\circ$, построен.