Номер 259, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

259. В $\triangle ABC$ $\angle A : \angle B : \angle C = 4 : 2 : 1$, $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Докажите, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$.

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$ заданы соотношения между углами: $\angle A : \angle B : \angle C = 4 : 2 : 1$.

Стороны треугольника: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Найти:

Доказать, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$.

Решение:

Пусть $\angle C = x$. Тогда, согласно условию, $\angle B = 2x$ и $\angle A = 4x$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, мы можем записать уравнение:

$4x + 2x + x = 180^\circ$

$7x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{7}$

Таким образом, точные значения углов треугольника следующие:

• $\angle C = x = \frac{180^\circ}{7}$
• $\angle B = 2x = 2 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{360^\circ}{7}$
• $\angle A = 4x = 4 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{720^\circ}{7}$

Применим теорему синусов, которая утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянной величиной (обозначим ее $k$) для данного треугольника:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$

Из этой теоремы выразим длины сторон $a, b, c$ через $k$ и синусы соответствующих углов:

• $a = k \sin A$
• $b = k \sin B$
• $c = k \sin C$

Теперь подставим эти выражения в тождество, которое нам необходимо доказать: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$.

$\frac{1}{k \sin A} + \frac{1}{k \sin B} = \frac{1}{k \sin C}$

Так как $k \neq 0$ (это отношение стороны к синусу угла, и ни одна сторона или синус угла не равны нулю в невырожденном треугольнике), мы можем умножить обе части равенства на $k$:

$\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin B} = \frac{1}{\sin C}$

Приведем левую часть этого уравнения к общему знаменателю:

$\frac{\sin B + \sin A}{\sin A \sin B} = \frac{1}{\sin C}$

Перемножим крест-на-крест:

$(\sin A + \sin B) \sin C = \sin A \sin B$

Теперь подставим выражения для углов $A=4x, B=2x, C=x$:

$(\sin 4x + \sin 2x) \sin x = \sin 4x \sin 2x$

Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках на левой стороне: $\sin P + \sin Q = 2 \sin\left(\frac{P+Q}{2}\right) \cos\left(\frac{P-Q}{2}\right)$.

Для $\sin 4x + \sin 2x$ получаем:

$2 \sin\left(\frac{4x+2x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x-2x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{6x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = 2 \sin 3x \cos x$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$(2 \sin 3x \cos x) \sin x = \sin 4x \sin 2x$

Мы знаем тригонометрическое тождество для синуса двойного угла: $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. Применим его к $2 \sin x \cos x$:

$\sin 3x \cdot (2 \sin x \cos x) = \sin 4x \sin 2x$

$\sin 3x \sin 2x = \sin 4x \sin 2x$

Поскольку $x = \frac{180^\circ}{7}$, то $2x = \frac{360^\circ}{7}$ является углом, который не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, поэтому $\sin 2x \neq 0$. Мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\sin 2x$:

$\sin 3x = \sin 4x$

Это равенство истинно, если выполняется одно из следующих условий:

1. $3x = 4x + 2\pi n$, где $n$ - целое число. Это приводит к $-x = 2\pi n$, или $x = -2\pi n$. Для углов треугольника $x$ должен быть положительным, что возможно только если $x=0$ при $n=0$, что не является углом треугольника.
2. $3x = \pi - 4x + 2\pi n$, где $n$ - целое число. Это приводит к $7x = \pi + 2\pi n$, или $7x = (1+2n)\pi$.

При $n=0$ во втором случае, мы получаем $7x = \pi$.

$x = \frac{\pi}{7}$ радиан, что эквивалентно $\frac{180^\circ}{7}$ градусам.

Это значение $x$ точно совпадает с тем, которое мы нашли в начале решения для угла $\angle C$. Таким образом, тождество $\sin 3x = \sin 4x$ выполняется для заданных углов, а это означает, что исходное тождество $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ доказано.

Ответ: Доказано.