Страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

256. В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CK$ соответственно равны 1 дм и 2 дм, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите $AC$.

Дано

Остроугольный треугольник $ABC$.

Высота $AH = 1$ дм.

Высота $CK = 2$ дм.

Угол между высотами $AH$ и $CK$ равен $60^\circ$.

Перевод в систему СИ:

$AH = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

$CK = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$AC$

Решение

Пусть $O$ — точка пересечения высот $AH$ и $CK$ (ортоцентр). Поскольку треугольник $ABC$ остроугольный, ортоцентр $O$ находится внутри треугольника.

Рассмотрим четырехугольник $BHOK$. Углы $\angle BHO$ и $\angle BKO$ прямые, так как $AH \perp BC$ и $CK \perp AB$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, $\angle B + \angle HOK = 180^\circ$.

Угол между высотами $AH$ и $CK$ задан как $60^\circ$. Это означает, что один из углов, образованных пересечением этих линий (например, $\angle AOK$ или $\angle COH$), равен $60^\circ$. Тогда смежный с ним угол, например $\angle HOK$, равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Если бы $\angle HOK$ был равен $60^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Однако, по условию, треугольник $ABC$ остроугольный, а значит, все его углы должны быть меньше $90^\circ$. Следовательно, $\angle B$ не может быть $120^\circ$.

Значит, острый угол между высотами, который равен $60^\circ$, это $\angle AOK$ или $\angle COH$. Тогда $\angle HOK = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Используя соотношение $\angle B + \angle HOK = 180^\circ$, получаем:

$\angle B + 120^\circ = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Это значение угла $B$ соответствует условию остроугольного треугольника.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотами.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $H$ на $BC$):

$AH = AB \sin(\angle B)$

$1 = AB \sin(60^\circ)$

$1 = AB \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB = \frac{2}{\sqrt{3}}$ дм.

В прямоугольном треугольнике $CKB$ (где $K$ на $AB$):

$CK = CB \sin(\angle B)$

$2 = CB \sin(60^\circ)$

$2 = CB \frac{\sqrt{3}}{2}$

$CB = \frac{4}{\sqrt{3}}$ дм.

Теперь, зная две стороны ($AB$ и $CB$) и угол между ними ($\angle B$), мы можем найти сторону $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + CB^2 - 2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \cdot \cos(60^\circ)$

$AC^2 = \frac{4}{3} + \frac{16}{3} - 2 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = \frac{20}{3} - \frac{8}{3}$

$AC^2 = \frac{12}{3}$

$AC^2 = 4$

$AC = \sqrt{4}$

$AC = 2$ дм.

Ответ:

$AC = 2$ дм

257. Из вершины $B$ равностороннего $\Delta ABC$ проведен луч $BD$, делящий его сторону $AC$ в отношении 1 : 2, считая от точки $A$. Найдите синусы углов $ABD$ и $CBD$.

Дано

треугольник $ABC$ – равносторонний;

луч $BD$ проведен из вершины $B$ к стороне $AC$;

точка $D$ делит сторону $AC$ в отношении $AD : DC = 1 : 2$.

Перевод в СИ

Пусть длина стороны равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$.

Тогда $AB = BC = AC = a$.

Углы равностороннего треугольника: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Поскольку $AD : DC = 1 : 2$ и $AD + DC = AC = a$, то $AD = \frac{1}{3}a$ и $DC = \frac{2}{3}a$.

Найти

$\sin(\angle ABD)$

$\sin(\angle CBD)$

Решение

Вычисление длины отрезка BD

Рассмотрим треугольник $ABD$. Известны стороны $AB = a$, $AD = \frac{a}{3}$ и угол $\angle BAD = \angle A = 60^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $ABD$ найдем длину стороны $BD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$

$BD^2 = a^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{3} \cdot \cos(60^\circ)$

$BD^2 = a^2 + \frac{a^2}{9} - 2 \cdot \frac{a^2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = a^2 + \frac{a^2}{9} - \frac{a^2}{3}$

$BD^2 = \frac{9a^2 + a^2 - 3a^2}{9}$

$BD^2 = \frac{7a^2}{9}$

$BD = \sqrt{\frac{7a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{7}}{3}$

Нахождение синуса угла ABD

В треугольнике $ABD$ применим теорему синусов:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$

Отсюда выразим $\sin(\angle ABD)$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{AD \cdot \sin(\angle BAD)}{BD}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle ABD) = \frac{\frac{a}{3} \cdot \sin(60^\circ)}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{\frac{a}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{3}{a\sqrt{7}}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

Рационализируем знаменатель:

$\sin(\angle ABD) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{14}$

Нахождение синуса угла CBD

Рассмотрим треугольник $CBD$. Известны стороны $BC = a$, $CD = \frac{2a}{3}$ и угол $\angle BCD = \angle C = 60^\circ$. Длину стороны $BD$ мы уже нашли: $BD = \frac{a\sqrt{7}}{3}$.

Применим теорему синусов для треугольника $CBD$:

$\frac{CD}{\sin(\angle CBD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)}$

Отсюда выразим $\sin(\angle CBD)$:

$\sin(\angle CBD) = \frac{CD \cdot \sin(\angle BCD)}{BD}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle CBD) = \frac{\frac{2a}{3} \cdot \sin(60^\circ)}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle CBD) = \frac{\frac{2a}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle CBD) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle CBD) = \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{a\sqrt{7}}$

$\sin(\angle CBD) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Рационализируем знаменатель:

$\sin(\angle CBD) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

258. a) Луч $AL$, проведенный из вершины острого угла ромба $ABCD$, делит этот угол в отношении 1 : 3, а сторону $BC$ в отношении 3 : 5. Найдите косинус тупого угла ромба.

б) В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ вдвое больше ее меньшего основания $BC$, $\angle BAD = \alpha$. Найдите косинус угла $BAC$.

a)

Дано:

Ромб $ABCD$, луч $AL$ из вершины $A$ (острый угол).

$L \in BC$.

$\angle BAL : \angle LAD = 1 : 3$.

$BL : LC = 3 : 5$.

Найти:

$\cos(\angle ABC)$ (косинус тупого угла ромба).

Решение:

Пусть $\angle BAL = k$. Тогда, согласно условию, $\angle LAD = 3k$.

Острый угол ромба $\angle BAD = \angle BAL + \angle LAD = k + 3k = 4k$.

Так как $AD \parallel BC$ (противоположные стороны ромба параллельны), то $\angle ALB = \angle LAD = 3k$ как накрест лежащие углы при секущей $AL$.

Пусть сторона ромба $AB = a$. Тогда все стороны ромба равны $a$, в том числе $BC = a$.

Точка $L$ делит сторону $BC$ в отношении $3:5$, то есть $BL:LC = 3:5$.

Следовательно, $BL = \frac{3}{3+5}BC = \frac{3}{8}a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABL$. В нем известны: $AB = a$, $BL = \frac{3}{8}a$, $\angle BAL = k$, $\angle ALB = 3k$.

Применим теорему синусов для $\triangle ABL$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ALB)} = \frac{BL}{\sin(\angle BAL)}$

$\frac{a}{\sin(3k)} = \frac{\frac{3}{8}a}{\sin(k)}$

Сократим $a$ (так как $a \ne 0$):

$\frac{1}{\sin(3k)} = \frac{3}{8\sin(k)}$

$8\sin(k) = 3\sin(3k)$

Используем формулу синуса тройного угла: $\sin(3k) = 3\sin(k) - 4\sin^3(k)$.

$8\sin(k) = 3(3\sin(k) - 4\sin^3(k))$

$8\sin(k) = 9\sin(k) - 12\sin^3(k)$

Так как $k$ является частью острого угла ромба, $k \ne 0$, и $\sin(k) \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\sin(k)$:

$8 = 9 - 12\sin^2(k)$

$12\sin^2(k) = 9 - 8$

$12\sin^2(k) = 1$

$\sin^2(k) = \frac{1}{12}$

Найдем $\cos^2(k)$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos^2(k) = 1 - \sin^2(k) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$

Тупой угол ромба, например, $\angle ABC$, и острый угол $\angle BAD$ являются соседними углами при одной стороне и в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, тупой угол ромба равен $180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 4k$.

Нам нужно найти косинус тупого угла: $\cos(180^\circ - 4k) = -\cos(4k)$.

Для вычисления $\cos(4k)$ используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$.

Сначала найдем $\cos(2k)$:

$\cos(2k) = 1 - 2\sin^2(k) = 1 - 2\left(\frac{1}{12}\right) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Теперь найдем $\cos(4k)$ как $\cos(2 \cdot 2k)$, используя формулу $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$:

$\cos(4k) = 2\cos^2(2k) - 1 = 2\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{25}{36}\right) - 1 = \frac{25}{18} - 1 = \frac{25 - 18}{18} = \frac{7}{18}$

Косинус тупого угла ромба равен $-\cos(4k) = -\frac{7}{18}$.

Ответ: $-\frac{7}{18}$

б)

Дано:

Трапеция $ABCD$, $BC \parallel AD$ ($BC$ - меньшее основание).

Боковая сторона $AB = 2BC$.

$\angle BAD = \alpha$.

Найти:

$\cos(\angle BAC)$.

Решение:

Пусть меньшее основание $BC = x$. Тогда боковая сторона $AB = 2x$.

Обозначим искомый угол $\angle BAC = \phi$.

Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, поэтому $\angle BCA = \angle CAD$.

Угол $\angle BAD$ равен $\alpha$. Мы можем записать $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$.

Следовательно, $\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = \alpha - \phi$.

Отсюда получаем $\angle BCA = \alpha - \phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем известны стороны $BC = x$, $AB = 2x$, и углы $\angle BAC = \phi$, $\angle BCA = \alpha - \phi$.

Применим теорему синусов для $\triangle ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)}$

Подставим известные значения:

$\frac{x}{\sin(\phi)} = \frac{2x}{\sin(\alpha - \phi)}$

Сократим $x$ (так как $x \ne 0$):

$\frac{1}{\sin(\phi)} = \frac{2}{\sin(\alpha - \phi)}$

Отсюда следует: $\sin(\alpha - \phi) = 2\sin(\phi)$.

Используем формулу синуса разности углов: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.

$\sin(\alpha)\cos(\phi) - \cos(\alpha)\sin(\phi) = 2\sin(\phi)$

Перенесем все члены, содержащие $\sin(\phi)$, в правую часть:

$\sin(\alpha)\cos(\phi) = 2\sin(\phi) + \cos(\alpha)\sin(\phi)$

Вынесем $\sin(\phi)$ за скобки в правой части:

$\sin(\alpha)\cos(\phi) = (2 + \cos(\alpha))\sin(\phi)$

Разделим обе части на $\cos(\phi)$ (так как $\phi$ - угол в треугольнике, $\cos(\phi)$ может быть равен нулю, но только если $\phi = 90^\circ$. Однако, если $\phi = 90^\circ$, то $\tan(\phi)$ не определен, что бы привело к противоречию, если бы правая часть была конечна. Поскольку $\sin(\alpha)$ и $2+\cos(\alpha)$ конечны, $\cos(\phi)$ не может быть равен нулю. Делим на $\cos(\phi)$ и на $(2+\cos(\alpha))$:

$\tan(\phi) = \frac{\sin(\alpha)}{2 + \cos(\alpha)}$

Нам нужно найти $\cos(\phi)$. Используем тригонометрическое тождество $\cos^2(\phi) = \frac{1}{1 + \tan^2(\phi)}$.

$\cos^2(\phi) = \frac{1}{1 + \left(\frac{\sin(\alpha)}{2 + \cos(\alpha)}\right)^2}$

$\cos^2(\phi) = \frac{1}{1 + \frac{\sin^2(\alpha)}{(2 + \cos(\alpha))^2}}$

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$\cos^2(\phi) = \frac{1}{\frac{(2 + \cos(\alpha))^2 + \sin^2(\alpha)}{(2 + \cos(\alpha))^2}}$

Перевернем дробь:

$\cos^2(\phi) = \frac{(2 + \cos(\alpha))^2}{(2 + \cos(\alpha))^2 + \sin^2(\alpha)}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(2 + \cos(\alpha))^2 + \sin^2(\alpha) = (4 + 4\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) + \sin^2(\alpha)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

Знаменатель $= 4 + 4\cos(\alpha) + 1 = 5 + 4\cos(\alpha)$.

Таким образом:

$\cos^2(\phi) = \frac{(2 + \cos(\alpha))^2}{5 + 4\cos(\alpha)}$

Извлечем квадратный корень. Поскольку $\phi = \angle BAC$ - угол в треугольнике, он всегда острый или тупой ($0 < \phi < 180^\circ$). $\alpha$ - угол трапеции, поэтому $0 < \alpha < 180^\circ$, и $\cos(\alpha)$ лежит в диапазоне $[-1, 1]$.

Выражение $2 + \cos(\alpha)$ всегда положительно, так как $2 + \cos(\alpha) \ge 2 - 1 = 1$.

Выражение $5 + 4\cos(\alpha)$ также всегда положительно, так как $5 + 4\cos(\alpha) \ge 5 - 4 = 1$.

Следовательно, $\cos(\phi) = \frac{\sqrt{(2 + \cos(\alpha))^2}}{\sqrt{5 + 4\cos(\alpha)}} = \frac{|2 + \cos(\alpha)|}{\sqrt{5 + 4\cos(\alpha)}}$.

Так как $2 + \cos(\alpha) > 0$, то $|2 + \cos(\alpha)| = 2 + \cos(\alpha)$.

Таким образом, $\cos(\angle BAC) = \frac{2 + \cos(\alpha)}{\sqrt{5 + 4\cos(\alpha)}}$.

Ответ: $\frac{2 + \cos(\alpha)}{\sqrt{5 + 4\cos(\alpha)}}$

259. В $\triangle ABC$ $\angle A : \angle B : \angle C = 4 : 2 : 1$, $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Докажите, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$.

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$ заданы соотношения между углами: $\angle A : \angle B : \angle C = 4 : 2 : 1$.

Стороны треугольника: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Найти:

Доказать, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$.

Решение:

Пусть $\angle C = x$. Тогда, согласно условию, $\angle B = 2x$ и $\angle A = 4x$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, мы можем записать уравнение:

$4x + 2x + x = 180^\circ$

$7x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{7}$

Таким образом, точные значения углов треугольника следующие:

• $\angle C = x = \frac{180^\circ}{7}$
• $\angle B = 2x = 2 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{360^\circ}{7}$
• $\angle A = 4x = 4 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{720^\circ}{7}$

Применим теорему синусов, которая утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянной величиной (обозначим ее $k$) для данного треугольника:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$

Из этой теоремы выразим длины сторон $a, b, c$ через $k$ и синусы соответствующих углов:

• $a = k \sin A$
• $b = k \sin B$
• $c = k \sin C$

Теперь подставим эти выражения в тождество, которое нам необходимо доказать: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$.

$\frac{1}{k \sin A} + \frac{1}{k \sin B} = \frac{1}{k \sin C}$

Так как $k \neq 0$ (это отношение стороны к синусу угла, и ни одна сторона или синус угла не равны нулю в невырожденном треугольнике), мы можем умножить обе части равенства на $k$:

$\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin B} = \frac{1}{\sin C}$

Приведем левую часть этого уравнения к общему знаменателю:

$\frac{\sin B + \sin A}{\sin A \sin B} = \frac{1}{\sin C}$

Перемножим крест-на-крест:

$(\sin A + \sin B) \sin C = \sin A \sin B$

Теперь подставим выражения для углов $A=4x, B=2x, C=x$:

$(\sin 4x + \sin 2x) \sin x = \sin 4x \sin 2x$

Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках на левой стороне: $\sin P + \sin Q = 2 \sin\left(\frac{P+Q}{2}\right) \cos\left(\frac{P-Q}{2}\right)$.

Для $\sin 4x + \sin 2x$ получаем:

$2 \sin\left(\frac{4x+2x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x-2x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{6x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = 2 \sin 3x \cos x$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$(2 \sin 3x \cos x) \sin x = \sin 4x \sin 2x$

Мы знаем тригонометрическое тождество для синуса двойного угла: $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. Применим его к $2 \sin x \cos x$:

$\sin 3x \cdot (2 \sin x \cos x) = \sin 4x \sin 2x$

$\sin 3x \sin 2x = \sin 4x \sin 2x$

Поскольку $x = \frac{180^\circ}{7}$, то $2x = \frac{360^\circ}{7}$ является углом, который не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, поэтому $\sin 2x \neq 0$. Мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\sin 2x$:

$\sin 3x = \sin 4x$

Это равенство истинно, если выполняется одно из следующих условий:

1. $3x = 4x + 2\pi n$, где $n$ - целое число. Это приводит к $-x = 2\pi n$, или $x = -2\pi n$. Для углов треугольника $x$ должен быть положительным, что возможно только если $x=0$ при $n=0$, что не является углом треугольника.
2. $3x = \pi - 4x + 2\pi n$, где $n$ - целое число. Это приводит к $7x = \pi + 2\pi n$, или $7x = (1+2n)\pi$.

При $n=0$ во втором случае, мы получаем $7x = \pi$.

$x = \frac{\pi}{7}$ радиан, что эквивалентно $\frac{180^\circ}{7}$ градусам.

Это значение $x$ точно совпадает с тем, которое мы нашли в начале решения для угла $\angle C$. Таким образом, тождество $\sin 3x = \sin 4x$ выполняется для заданных углов, а это означает, что исходное тождество $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ доказано.

Ответ: Доказано.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте окружность с центром в точке $O$. На ней отметьте точки $A$ и $B$, не являющиеся концами диаметра, и произвольную точку $C$. Измерьте углы $\angle ACB$ и $\angle AOB$. Какую зависимость между ними вы обнаружили?

Построение окружности и точек

Для выполнения данного практического задания необходимо использовать чертежные инструменты: циркуль, линейку и транспортир.
1. Начертите окружность произвольного радиуса на листе бумаги.
2. Отметьте центр этой окружности как точку $O$.
3. На окружности выберите и отметьте две произвольные точки, $A$ и $B$, так, чтобы отрезок $AB$ не являлся диаметром окружности (то есть, чтобы он не проходил через точку $O$).
4. На той же окружности отметьте третью произвольную точку $C$. Эта точка может быть выбрана на любой из двух дуг, на которые окружность делится точками $A$ и $B$.

Ответ:

Измерение углов

После построения точек необходимо измерить углы:
1. Проведите отрезки $OA$ и $OB$. Угол $AOB$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AB$.
2. Проведите отрезки $CA$ и $CB$. Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $AB$.
3. Используя транспортир, аккуратно измерьте величину угла $AOB$. Запишите полученное значение.
4. Затем измерьте величину угла $ACB$ с помощью транспортира. Запишите это значение.
Например, если при измерении угол $AOB$ оказался равным $70^\circ$, то угол $ACB$ должен быть равен $35^\circ$. Если $AOB$ равен $110^\circ$, то $ACB$ будет $55^\circ$. Точность измерений будет зависеть от аккуратности построения и использования инструментов.

Ответ:

Обнаруженная зависимость

При сравнении измеренных значений углов $AOB$ и $ACB$ будет обнаружена следующая закономерность: центральный угол $AOB$ будет примерно в два раза больше вписанного угла $ACB$, при условии, что оба угла опираются на одну и ту же дугу $AB$.
Эта зависимость является фундаментальной теоремой геометрии окружности, которая гласит, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Математически это соотношение выражается так:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$
или
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB$.
Эта зависимость справедлива для любых точек $A$, $B$ и $C$ на окружности, если $A$ и $B$ не являются диаметрально противоположными, и точка $C$ лежит на дуге, образованной $A$ и $B$ (не пересекая дугу, содержащую центр $O$, если речь идет о меньшей дуге $AB$).

Ответ: