Страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

264. a) Хорда $AB$ стягивает дугу, равную $105^{\circ}$, а хорда $AC$ – дугу, равную $45^{\circ}$. Найдите $\angle BAC$.

б) Найдите угол между хордой $AB$, стягивающей дугу в $52^{\circ}$, и диаметром $BC$.

a)

Дано:

Дуга $AB = 105^\circ$
Дуга $AC = 45^\circ$

Найти:

$\angle BAC$

Решение:

Угол $\angle BAC$ является вписанным углом. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. В данном случае, угол $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$.

Возможны два случая расположения точек $B$ и $C$ относительно точки $A$ на окружности:

1. Точки $B$ и $C$ расположены по одну сторону от точки $A$ (то есть дуга $AC$ является частью дуги $AB$, если смотреть от $A$ в одном направлении по окружности, например, A-C-B). В этом случае, дуга $BC$ равна абсолютной разности дуг $AB$ и $AC$:
$\text{дуга } BC = |\text{дуга } AB - \text{дуга } AC| = |105^\circ - 45^\circ| = 60^\circ$
Тогда $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

2. Точки $B$ и $C$ расположены по разные стороны от точки $A$ (то есть дуги $AB$ и $AC$ откладываются от $A$ в разных направлениях, например, B-A-C). В этом случае, дуга $BC$ равна сумме дуг $AB$ и $AC$:
$\text{дуга } BC = \text{дуга } AB + \text{дуга } AC = 105^\circ + 45^\circ = 150^\circ$
Тогда $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$.

При отсутствии дополнительной информации о взаимном расположении точек $A, B, C$ на окружности, оба решения являются допустимыми.

Ответ: $30^\circ$ или $75^\circ$.

б)

Дано:

Хорда $AB$ стягивает дугу $52^\circ$
$BC$ - диаметр окружности

Найти:

Угол между хордой $AB$ и диаметром $BC$ ($\angle ABC$)

Решение:

Поскольку $BC$ является диаметром окружности, треугольник $ABC$, вписанный в окружность, является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ (угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$).

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом и опирается на дугу $AC$.
Величина дуги, на которую опирается угол $\angle ABC$, находится как разность между дугой полуокружности и дугой $AB$.
Поскольку $BC$ - диаметр, дуга, которую он стягивает (полуокружность), равна $180^\circ$.
Следовательно, дуга $AC = 180^\circ - \text{дуга } AB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 128^\circ = 64^\circ$.

Ответ: $64^\circ$.

265. Центральный угол $AOB$ на $42^\circ$ больше вписанного угла, опирающегося на дугу $AB$. Найдите каждый из этих углов.

Дано:

центральный угол $\angle AOB$

вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на ту же дугу $AB$

$\angle AOB = \angle ACB + 42^\circ$

Найти:

$\angle AOB$ и $\angle ACB$

Решение:

Пусть вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, равен $\beta$. То есть, $\angle ACB = \beta$.

Пусть центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу $AB$, равен $\alpha$. То есть, $\angle AOB = \alpha$.

По условию задачи, центральный угол на $42^\circ$ больше вписанного угла:

$\alpha = \beta + 42^\circ$

Известно, что центральный угол, опирающийся на некоторую дугу, в два раза больше любого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, для дуги $AB$:

$\alpha = 2\beta$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \alpha = \beta + 42^\circ \\ \alpha = 2\beta \end{cases}$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$2\beta = \beta + 42^\circ$

Вычтем $\beta$ из обеих частей уравнения, чтобы найти значение $\beta$:

$2\beta - \beta = 42^\circ$

$\beta = 42^\circ$

Теперь, зная значение $\beta$, найдем значение центрального угла $\alpha$, используя соотношение $\alpha = 2\beta$:

$\alpha = 2 \cdot 42^\circ$

$\alpha = 84^\circ$

Таким образом, вписанный угол равен $42^\circ$, а центральный угол равен $84^\circ$. Проверим условие: $84^\circ - 42^\circ = 42^\circ$, что соответствует условию задачи.

Ответ:

Вписанный угол равен $42^\circ$, центральный угол равен $84^\circ$.

266. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$. Найдите угол $\angle BKC$, если градусная мера дуги $AD$ равна $50^\circ$, а дуги $BC$ – $83^\circ$.

Дано:

Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$.
Градусная мера дуги $AD$: $ \stackrel{\frown}{AD} = 50^\circ $.
Градусная мера дуги $BC$: $ \stackrel{\frown}{BC} = 83^\circ $.

Найти:

Угол $BKC$ ($ \angle BKC $).

Решение:

Угол, образованный двумя пересекающимися хордами внутри окружности, равен половине суммы градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами его вертикального угла. В данном случае, угол $ \angle BKC $ опирается на дугу $ \stackrel{\frown}{BC} $, а его вертикальный угол $ \angle AKD $ опирается на дугу $ \stackrel{\frown}{AD} $.
Таким образом, для нахождения угла $ BKC $ используем следующую формулу:

$ \angle BKC = \frac{1}{2} (\stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{AD}) $

Подставим заданные значения дуг в формулу:

$ \angle BKC = \frac{1}{2} (83^\circ + 50^\circ) $

$ \angle BKC = \frac{1}{2} (133^\circ) $

$ \angle BKC = 66.5^\circ $

Ответ:

$ \angle BKC = 66.5^\circ $

267. Найдите острый угол между двумя секущими, проведенными через точку, не принадлежащую окружности, если дуги, заключенные между этими секущими, равны $41^\circ$ и $135^\circ$.

Дано:

дуга 1 ($L_1$) = $135^\circ$

дуга 2 ($L_2$) = $41^\circ$

Перевод в СИ: углы в градусах не требуют перевода в СИ для данной задачи.

Найти:

Острый угол ($\alpha$) между двумя секущими.

Решение:

Угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки вне окружности, равен половине разности мер дуг, заключенных между этими секущими.

Формула для нахождения угла $\alpha$ между секущими: $\alpha = \frac{|L_1 - L_2|}{2}$

Подставляем значения данных дуг:

$\alpha = \frac{|135^\circ - 41^\circ|}{2}$

$\alpha = \frac{94^\circ}{2}$

$\alpha = 47^\circ$

Полученный угол $47^\circ$ является острым, так как $47^\circ < 90^\circ$.

Ответ: $47^\circ$

268. Хорда $AB$ параллельна диаметру $CD$ окружности. Найдите $AB$, если $AC=3$ дм, $BC=4$ дм.

Дано:

Окружность, хорда $AB$ параллельна диаметру $CD$.

$AC = 3$ дм

$BC = 4$ дм

Найти:

$AB$

Решение:

1. Поскольку хорда $AB$ параллельна диаметру $CD$, дуги, заключенные между параллельными линиями, равны. То есть, дуга $AC$ равна дуге $BD$.

2. Равные дуги стягивают равные хорды. Следовательно, длина хорды $AC$ равна длине хорды $BD$.

Так как $AC = 3$ дм, то $BD = 3$ дм.

3. Рассмотрим треугольник $BCD$. Вершины $B$, $C$, $D$ лежат на окружности, а сторона $CD$ является диаметром окружности. Угол, вписанный в полуокружность и опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle CBD = 90^\circ$.

4. Треугольник $BCD$ является прямоугольным треугольником с катетами $BC = 4$ дм и $BD = 3$ дм.

По теореме Пифагора для $\triangle BCD$ находим длину диаметра $CD$ (гипотенузы):

$CD^2 = BC^2 + BD^2$

$CD^2 = 4^2 + 3^2$

$CD^2 = 16 + 9$

$CD^2 = 25$

$CD = \sqrt{25} = 5$ дм.

Таким образом, диаметр окружности равен $5$ дм, а радиус $R = \frac{CD}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ дм.

5. Пусть центр окружности - точка $O$. Проведем перпендикуляр $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$. Точка $M$ будет серединой хорды $AB$ (по свойству хорды и радиуса, перпендикулярного ей).

6. Для нахождения длины хорды $AB$, нам нужно найти $AM$. Мы знаем радиус $OA = R = 2.5$ дм. Также нам нужно найти расстояние $OM$ от центра окружности до хорды $AB$.

7. Воспользуемся координатами для определения расстояния $OM$. Пусть центр окружности $O$ находится в начале координат $(0,0)$, а диаметр $CD$ лежит на оси $x$. Тогда $C=(2.5, 0)$ и $D=(-2.5, 0)$.

Пусть координаты точки $A$ будут $(x_A, y_A)$. Так как $A$ лежит на окружности, $x_A^2 + y_A^2 = R^2 = (2.5)^2 = 6.25$.

Расстояние $AC = 3$ дм. Используем формулу расстояния между точками $A(x_A, y_A)$ и $C(2.5, 0)$:

$AC^2 = (x_A - 2.5)^2 + (y_A - 0)^2$

$3^2 = x_A^2 - 2 \cdot x_A \cdot 2.5 + (2.5)^2 + y_A^2$

$9 = x_A^2 - 5x_A + 6.25 + y_A^2$

Подставим $x_A^2 + y_A^2 = 6.25$ в уравнение:

$9 = 6.25 - 5x_A + 6.25$

$9 = 12.5 - 5x_A$

$5x_A = 12.5 - 9$

$5x_A = 3.5$

$x_A = \frac{3.5}{5} = 0.7$

Теперь найдем $y_A$:

$y_A^2 = 6.25 - x_A^2 = 6.25 - (0.7)^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$

$y_A = \sqrt{5.76} = 2.4$ (мы можем выбрать положительное значение $y_A$, так как хорда $AB$ параллельна $CD$ и может располагаться выше или ниже диаметра).

Так как $AB \parallel CD$, то $y$-координата точки $A$ (или $B$) является расстоянием $OM$ от центра до хорды $AB$. То есть, $OM = |y_A| = 2.4$ дм.

8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. Гипотенуза $OA = R = 2.5$ дм, катет $OM = 2.4$ дм. Используем теорему Пифагора для нахождения $AM$:

$AM^2 = OA^2 - OM^2$

$AM^2 = (2.5)^2 - (2.4)^2$

$AM^2 = 6.25 - 5.76$

$AM^2 = 0.49$

$AM = \sqrt{0.49} = 0.7$ дм.

9. Поскольку $M$ является серединой хорды $AB$, длина хорды $AB = 2 \cdot AM$.

$AB = 2 \cdot 0.7 = 1.4$ дм.

Ответ: 1.4 дм

269. Постройте $\triangle ABC$ по его данным: $AB = 4$ см, $\angle C = 40^\circ$, высота $CH = 5$ см.

Дано:

Длина стороны $AB = 4$ см

Величина угла $\angle C = 40^\circ$

Длина высоты $CH = 5$ см

Перевод в СИ:

$AB = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$CH = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$\angle C = 40^\circ$

Найти:

Построить треугольник $\triangle ABC$.

Решение:

Для определения возможности построения треугольника $ABC$ с заданными параметрами, необходимо проанализировать геометрические условия. Геометрическим местом точек $C$, из которых отрезок $AB$ виден под постоянным углом $\angle C$, является дуга окружности. В данном случае, поскольку $\angle C = 40^\circ < 90^\circ$, это будет большая дуга, и центр $O$ этой окружности будет находиться по противоположную сторону от отрезка $AB$ относительно дуги.

Вычислим радиус $R$ этой окружности, используя формулу для радиуса описанной окружности: $R = \frac{AB}{2 \sin C}$ Подставим данные значения: $R = \frac{4 \text{ см}}{2 \sin 40^\circ}$ Используя значение $\sin 40^\circ \approx 0.6428$: $R \approx \frac{4}{2 \times 0.6428} = \frac{4}{1.2856} \approx 3.11 \text{ см}$.

Далее, найдем расстояние $OM$ от центра $O$ окружности до отрезка $AB$. Точка $M$ - это середина отрезка $AB$. В прямоугольном треугольнике, образованном центром $O$, серединой $M$ отрезка $AB$ и одной из вершин $A$ (или $B$), угол $\angle AOM = \angle C$. $OM = AM \cot C = \frac{AB}{2} \cot C$ Подставим значения: $OM = \frac{4 \text{ см}}{2} \cot 40^\circ = 2 \text{ см} \times \cot 40^\circ$ Используя значение $\cot 40^\circ \approx 1.1917$: $OM \approx 2 \times 1.1917 \approx 2.38 \text{ см}$.

Максимальная высота $CH_{max}$ для вершины $C$ над стороной $AB$ (т.е. расстояние от самой дальней точки дуги до прямой, содержащей $AB$) достигается, когда точка $C$ лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка $AB$. Поскольку центр $O$ и дуга $C$ находятся по разные стороны от $AB$ (для острого угла $C$), максимальная высота $CH_{max}$ определяется как разность радиуса $R$ и расстояния $OM$: $CH_{max} = R - OM$ Подставим вычисленные значения: $CH_{max} \approx 3.11 \text{ см} - 2.38 \text{ см} = 0.73 \text{ см}$.

По условию задачи, требуемая высота $CH = 5$ см. Сравним заданную высоту с максимально возможной: $CH = 5 \text{ см}$ $CH_{max} \approx 0.73 \text{ см}$ Так как $CH > CH_{max}$ ($5 \text{ см} > 0.73 \text{ см}$), это означает, что не существует точки $C$ на указанной дуге окружности, которая находилась бы на расстоянии $5$ см от прямой $AB$. Следовательно, треугольник с такими параметрами не может быть построен.

Ответ:
Построение треугольника $ABC$ с заданными параметрами невозможно, так как требуемая высота $CH = 5$ см превышает максимально возможную высоту ($CH_{max} \approx 0.73$ см) для данного отрезка $AB$ и угла $\angle C$.