Страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Чему равна градусная мера угла между касательной и хордой, проведенной из точки касания?

2. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной и секущей к окружности, проведенных через одну точку.

3. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд окружности.

1. Чему равна градусная мера угла между касательной и хордой, проведенной из точки касания?

Градусная мера угла между касательной к окружности и хордой, проведенной из точки касания, равна половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла. Этот угол также равен любому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Ответ: Градусная мера угла между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равна половине угловой величины дуги, заключенной между ними, или равна любому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

2. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной и секущей к окружности, проведенных через одну точку.

Формулировка: Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длины всего отрезка секущей на длину ее внешней части.

Дано: Окружность, внешняя точка $P$. Касательная $PT$ касается окружности в точке $T$. Секущая $PAB$ пересекает окружность в точках $A$ и $B$, причем точка $A$ лежит между $P$ и $B$.

Найти: Доказать, что $PT^2 = PA \cdot PB$.

Решение:
Рассмотрим треугольники $\triangle PTA$ и $\triangle PBT$.
1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.
2. Угол между касательной $PT$ и хордой $AT$ (угол $\angle PTA$) равен половине градусной меры дуги $AT$. Вписанный угол $\angle ABT$ (или $\angle PBA$) также опирается на дугу $AT$, поэтому он равен половине градусной меры дуги $AT$.
Следовательно, $\angle PTA = \angle ABT$.
Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (угол $P$ общий и $\angle PTA = \angle PBT$), то треугольники $\triangle PTA$ и $\triangle PBT$ подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}$
Перемножая крест-на-крест, получаем:
$PT \cdot PT = PA \cdot PB$
$PT^2 = PA \cdot PB$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Сформулированная и доказанная теорема представлена выше.

3. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд окружности.

Формулировка: Если две хорды окружности пересекаются внутри этой окружности, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано: Окружность, две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ внутри окружности.

Найти: Доказать, что $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Решение:
Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.
1. Углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle APC = \angle DPB$.
2. Углы $\angle PAC$ (или $\angle BAC$) и $\angle PDB$ (или $\angle CDB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$. Следовательно, они равны: $\angle PAC = \angle PDB$.
Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (по первому признаку подобия треугольников), то треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$
Перемножая крест-на-крест, получаем:
$AP \cdot PB = CP \cdot DP$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Сформулированная и доказанная теорема представлена выше.

270. Точки A и B разбивают окружность на две дуги $AMB$ и $ANB$, градусные меры которых относятся как $7 : 17$. Через точку A проведена касательная $CD$ к окружности. Найдите угол между прямыми $CD$ и $AB$.

Дано:

Точки $A$ и $B$ на окружности.

Градусные меры дуг $\stackrel{\text{frown}}{AMB}$ и $\stackrel{\text{frown}}{ANB}$ относятся как $7 : 17$.

Прямая $CD$ - касательная к окружности в точке $A$.

Найти:

Угол между прямыми $CD$ и $AB$.

Решение:

Обозначим градусную меру дуги $\stackrel{\text{frown}}{AMB}$ как $7x$, а градусную меру дуги $\stackrel{\text{frown}}{ANB}$ как $17x$.

Сумма градусных мер всех дуг, на которые точки на окружности разбивают ее, составляет $360^\circ$.

Таким образом, сумма градусных мер дуг $\stackrel{\text{frown}}{AMB}$ и $\stackrel{\text{frown}}{ANB}$ равна $360^\circ$:

$7x + 17x = 360^\circ$

$24x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{24}$

$x = 15^\circ$

Теперь вычислим градусные меры каждой дуги:

Мера дуги $\stackrel{\text{frown}}{AMB} = 7x = 7 \times 15^\circ = 105^\circ$.

Мера дуги $\stackrel{\text{frown}}{ANB} = 17x = 17 \times 15^\circ = 255^\circ$.

Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними.

Угол между касательной $CD$ (например, угол $\angle DAB$) и хордой $AB$ опирается на дугу $\stackrel{\text{frown}}{AMB}$.

Следовательно, $\angle DAB = \frac{1}{2} \text{m}(\stackrel{\text{frown}}{AMB})$.

$\angle DAB = \frac{1}{2} \times 105^\circ = 52.5^\circ$.

Другой угол между касательной $CD$ и хордой $AB$ (например, угол $\angle CAB$) опирается на дугу $\stackrel{\text{frown}}{ANB}$.

$\angle CAB = \frac{1}{2} \text{m}(\stackrel{\text{frown}}{ANB}) = \frac{1}{2} \times 255^\circ = 127.5^\circ$.

Угол между двумя прямыми по определению является острым или прямым углом, образованным этими прямыми.

Ответ:

Угол между прямыми $CD$ и $AB$ равен $52.5^\circ$.

271. К окружности с центром в точке $O$ проведены касательная $AB$ ($B$ — точка касания) и секущая $AO$, имеющая с окружностью общие точки $C$ и $D$ ($C$ лежит между точками $A$ и $O$). Найдите $\angle ABC$ и $\angle BAC$, если $\stackrel{\frown}{BD} = 124^\circ$.

Дано

Окружность с центром $O$.

Касательная $AB$ к окружности в точке $B$ (точка касания).

Секущая $AO$ пересекает окружность в точках $C$ и $D$.

Точка $C$ лежит между $A$ и $O$ ($A-C-O-D$).

Дуга $\text{BD} = 124^\circ$.

Найти:

$\angle ABC$

$\angle BAC$

Решение

1. Определение положения точек и дуг

Так как секущая $AO$ проходит через центр окружности $O$ и пересекает окружность в точках $C$ и $D$, то отрезок $CD$ является диаметром окружности. Условие "C лежит между точками A и O" означает, что порядок точек на прямой $AO$ следующий: $A - C - O - D$.

По условию, дуга $\text{BD} = 124^\circ$. Центральный угол, соответствующий дуге $BD$, равен мере этой дуги: $\angle BOD = 124^\circ$.

Так как $CD$ является диаметром, то точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой. Угол $\angle COD$ является развернутым, то есть $\angle COD = 180^\circ$.

Угол $\angle BOC$ является смежным с $\angle BOD$ относительно прямой $CD$. Следовательно, $\angle BOC = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

Мера дуги $BC$ равна мере центрального угла $\angle BOC$: $\text{дуга } BC = 56^\circ$.

2. Нахождение $\angle ABC$

Угол $\angle ABC$ является углом между касательной $AB$ и хордой $BC$, проведенной из точки касания $B$. Величина такого угла равна половине меры дуги, заключенной между его сторонами (дуга $BC$).

$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 56^\circ = 28^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 28^\circ$

3. Нахождение $\angle BAC$

Для нахождения $\angle BAC$ используем два метода, которые должны дать одинаковый результат.

Метод 1: Использование теоремы об угле между касательной и секущей.

Угол между касательной ($AB$) и секущей ($AD$, которая является частью $AO$) из внешней точки $A$ равен половине разности мер заключенных дуг ($BD$ и $BC$).

$\angle BAC = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } BC)$.

$\angle BAC = \frac{1}{2} (124^\circ - 56^\circ) = \frac{1}{2} (68^\circ) = 34^\circ$.

Метод 2: Использование суммы углов в треугольнике $ABC$.

Мы уже нашли $\angle ABC = 28^\circ$.

Найдем $\angle ACB$. Угол $\angle ACB$ является углом в треугольнике $ABC$. Точки $A, C, D$ лежат на одной прямой, при этом $C$ находится между $A$ и $D$. Следовательно, луч $CA$ и луч $CD$ являются противоположными лучами.

Рассмотрим угол $\angle BCD$. Это вписанный угол, опирающийся на дугу $BD$. Мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается.

$\angle BCD = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BD = \frac{1}{2} \cdot 124^\circ = 62^\circ$.

Так как лучи $CA$ и $CD$ противоположны, то углы $\angle ACB$ и $\angle BCD$ являются смежными углами.

$\angle ACB + \angle BCD = 180^\circ$.

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

Теперь найдем $\angle BAC$ из суммы углов треугольника $ABC$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.

$\angle BAC + 28^\circ + 118^\circ = 180^\circ$.

$\angle BAC + 146^\circ = 180^\circ$.

$\angle BAC = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.

Оба метода дают одинаковый результат, что подтверждает его правильность.

Ответ: $\angle BAC = 34^\circ$