Страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

280. Одна из сторон треугольника равна $b$, а угол, лежащий против нее, равен $\beta$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если:
а) $b = 8$ см, $\beta = 135^\circ$;
б) $b = 4\sqrt{3}$ дм, $\beta = 120^\circ$.

Дано

Одна из сторон треугольника $b$, угол, лежащий против нее, $\beta$.

Перевод в СИ

а) $b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

б) $b = 4\sqrt{3} \text{ дм} = 0.4\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной окружности $R$.

Решение

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, используем теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

То есть, $ \frac{b}{\sin \beta} = 2R $. Отсюда, радиус $ R = \frac{b}{2 \sin \beta} $.

а) $b = 8 \text{ см}, \beta = 135^\circ$

Используем формулу $ R = \frac{b}{2 \sin \beta} $.

Подставляем значения:

$ \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ R = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} $

$ R = \frac{8}{\sqrt{2}} $

Избавляемся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ R = \frac{8\sqrt{2}}{2} $

$ R = 4\sqrt{2} \text{ см} $

Ответ: $4\sqrt{2} \text{ см}$

б) $b = 4\sqrt{3} \text{ дм}, \beta = 120^\circ$

Используем формулу $ R = \frac{b}{2 \sin \beta} $.

Подставляем значения:

$ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ R = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} $

$ R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $

$ R = 4 \text{ дм} $

Ответ: $4 \text{ дм}$

281. a) В окружность вписан треугольник со стороной, равной $2\sqrt{3}$ см и удаленной от центра окружности на 1 см. Найдите угол, лежащий против этой стороны.

б) Центр описанной около $\triangle ABC$ окружности лежит вне треугольника, а его угол $A$ - наибольший. Найдите $\angle A$, если $AB = 3$ м, $AC = 4$ м и $S_{\triangle ABC} = 3$ м$^2$.

а)

Дано:

Сторона треугольника $a = 2\sqrt{3}$ см

Расстояние от центра окружности до стороны $h = 1$ см

Перевод в СИ:

$a = 2\sqrt{3}$ см $= 2\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$h = 1$ см $= 1 \times 10^{-2}$ м

Найти:

Угол $\alpha$, лежащий против стороны $a$.

Решение:

Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды (стороны треугольника) $h$ и половина хорды $a/2$ связаны с радиусом $R$ теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и перпендикуляром из центра к хорде.

Половина стороны $a/2 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + (a/2)^2$.

$R^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

Следовательно, $R = \sqrt{4} = 2$ см.

По теореме синусов, для треугольника, вписанного в окружность, справедливо соотношение: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$, где $\alpha$ — угол, лежащий против стороны $a$.

Выразим $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{a}{2R}$

Подставим известные значения:

$\sin \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{2 \times 2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Существуют два угла в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, синус которых равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $60^\circ$ и $120^\circ$.

Оба значения угла являются допустимыми для угла треугольника, и оба соответствуют заданной геометрии.

Рассмотрим центральный угол $\theta$, опирающийся на ту же хорду $a$. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и перпендикуляром, угол, противолежащий $a/2$, равен $\theta/2$.

$\sin(\theta/2) = \frac{a/2}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $\theta/2 = 60^\circ$, откуда $\theta = 120^\circ$.

Угол $\alpha$, лежащий против данной стороны (вписанный угол), связан с центральным углом $\theta$ следующим образом:

1. Если вершина угла находится на большей дуге, то $\alpha = \frac{1}{2}\theta = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$. В этом случае центр окружности находится внутри треугольника, и угол $\alpha$ является острым.

2. Если вершина угла находится на меньшей дуге, то $\alpha = \frac{1}{2}(360^\circ - \theta) = \frac{1}{2}(360^\circ - 120^\circ) = \frac{1}{2} \times 240^\circ = 120^\circ$. В этом случае центр окружности находится вне треугольника, и угол $\alpha$ является тупым.

Оба варианта соответствуют условию задачи, так как не указан тип треугольника (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный).

Ответ: Угол, лежащий против этой стороны, равен $60^\circ$ или $120^\circ$.

б)

Дано:

Центр описанной около $\triangle ABC$ окружности лежит вне треугольника.

Угол $A$ – наибольший.

$AB = c = 3$ м

$AC = b = 4$ м

$S_{\triangle ABC} = 3$ м$^2$

Найти:

$\angle A$.

Решение:

Площадь треугольника $S$ может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}bc \sin A$.

Подставим известные значения в формулу:

$3 = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin A$

$3 = 6 \sin A$

Отсюда, $\sin A = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Существуют два значения угла $A$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, для которых $\sin A = \frac{1}{2}$:

$A_1 = 30^\circ$

$A_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Теперь используем дополнительные условия задачи:

1. "Центр описанной около $\triangle ABC$ окружности лежит вне треугольника." Это условие означает, что треугольник $ABC$ является тупоугольным. В тупоугольном треугольнике один из углов больше $90^\circ$.

2. "его угол $A$ – наибольший." Это означает, что угол $A$ является самым большим углом в треугольнике.

Поскольку центр описанной окружности лежит вне треугольника, треугольник является тупоугольным. Наибольший угол в тупоугольном треугольнике должен быть тупым (более $90^\circ$).

Из двух возможных значений для угла $A$ ($30^\circ$ и $150^\circ$), только $150^\circ$ является тупым углом ($150^\circ > 90^\circ$).

Если $\angle A = 150^\circ$, то он является тупым, и, следовательно, наибольшим углом в треугольнике (так как сумма остальных двух углов будет $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$). Это согласуется с условиями задачи.

Таким образом, угол $A$ должен быть $150^\circ$.

Ответ: $\angle A = 150^\circ$.

282. Найдите с точностью до $0,1$ см сторону $AB$ остроугольного $\triangle ABC$, в котором $CB = 5$ см, $\sin\angle C = 0,64$, а расстояние от центра окружности, описанной около него, до стороны $BC$ равно $0,5$ см.

Дано

$CB = 5 \text{ см}$

$\sin \angle C = 0,64$

$d_{BC} = 0,5 \text{ см}$ (расстояние от центра описанной окружности до стороны $BC$)

$\triangle ABC$ - остроугольный

Перевод в СИ (для справки, вычисления будут в см):

$CB = 0,05 \text{ м}$

$d_{BC} = 0,005 \text{ м}$

Найти:

$AB$

Решение

Пусть $O$ - центр описанной окружности, $R$ - радиус описанной окружности. Пусть $M$ - середина стороны $BC$. Поскольку $O$ - центр описанной окружности, $OM$ является перпендикуляром к стороне $BC$, и его длина равна расстоянию от центра описанной окружности до стороны $BC$. Таким образом, $OM = d_{BC} = 0,5 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OMB$ (где $M$ - середина $BC$, $OM \perp BC$):

Гипотенуза $OB$ является радиусом описанной окружности, $OB = R$.

Катет $BM = \frac{1}{2} CB = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

По теореме Пифагора для $\triangle OMB$:

$OB^2 = OM^2 + BM^2$

$R^2 = (0,5)^2 + (2,5)^2$

$R^2 = 0,25 + 6,25$

$R^2 = 6,5$

$R = \sqrt{6,5} \text{ см}$

Для нахождения стороны $AB$ воспользуемся теоремой синусов. Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$.

По теореме синусов:

$\frac{AB}{\sin \angle C} = 2R$

$AB = 2R \sin \angle C$

Подставляем известные значения:

$AB = 2 \cdot \sqrt{6,5} \cdot 0,64$

$AB = 1,28 \cdot \sqrt{6,5}$

Вычислим приближенное значение $\sqrt{6,5}$:

$\sqrt{6,5} \approx 2,54950975679$

Теперь вычислим $AB$:

$AB \approx 1,28 \cdot 2,54950975679$

$AB \approx 3,2633724887$

Округлим результат до точности 0,1 см:

$AB \approx 3,3 \text{ см}$

Ответ:

$3,3 \text{ см}$

283. a) В равнобедренном $\triangle ABC$ основание $AB = 18$ см, $AC = 15$ см. Найдите радиус окружности: 1) вписанной в $\triangle ABC$;

2) описанной около $\triangle ABC$.

б) В треугольнике известны две стороны (6 см, 8 см) и угол между ними ($60^\circ$). Найдите с точностью до 0,1 см радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Дано:

Равнобедренный $\triangle ABC$
Основание $AB = 18$ см
Боковая сторона $AC = BC = 15$ см

Перевод в СИ:

$AB = 0.18$ м
$AC = BC = 0.15$ м

Найти:

1) Радиус вписанной окружности $r_{вписанной}$
2) Радиус описанной окружности $R_{описанной}$

Решение:

Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей, нам потребуется высота треугольника и его площадь.

Пусть $CH$ - высота, опущенная из вершины $C$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $AH = HB = AB / 2 = 18 / 2 = 9$ см.
Применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $AHC$ (где $AC$ - гипотенуза):
$CH^2 = AC^2 - AH^2$
$CH^2 = 15^2 - 9^2$
$CH^2 = 225 - 81$
$CH^2 = 144$
$CH = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь треугольника $S$ может быть найдена по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108$ см$^2$.

1) вписанной в $\triangle ABC$

Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле: $r = S/p$, где $p$ - полупериметр треугольника.
Периметр $P = AB + AC + BC = 18 + 15 + 15 = 48$ см.
Полупериметр $p = P/2 = 48/2 = 24$ см.
$r = \frac{108}{24} = 4.5$ см.

Ответ: $4.5$ см

2) описанной около $\triangle ABC$

Радиус описанной окружности $R$ находится по формуле: $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$, где $a, b, c$ - длины сторон треугольника.
$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4S}$
$R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 18}{4 \cdot 108}$
$R = \frac{4050}{432}$
$R = \frac{75}{8} = 9.375$ см.

Ответ: $9.375$ см

Дано:

Треугольник со сторонами $a = 6$ см, $b = 8$ см и углом между ними $\gamma = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 0.06$ м
$b = 0.08$ м
$\gamma = 60^\circ$

Найти:

Радиус вписанной окружности $r_{вписанной}$ с точностью до $0.1$ см.

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной окружности, нам необходимы все стороны треугольника и его площадь. Обозначим стороны как $a=6$ см, $b=8$ см, и угол между ними $\gamma = 60^\circ$. Третью сторону $c$ найдем по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = 0.5$:
$c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 48 \cdot 0.5$
$c^2 = 100 - 48$
$c^2 = 52$
$c = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Площадь треугольника $S$ может быть найдена по формуле: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$.
Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$:
$p = \frac{6 + 8 + 2\sqrt{13}}{2} = \frac{14 + 2\sqrt{13}}{2} = 7 + \sqrt{13}$ см.

Радиус вписанной окружности $r = S/p$:
$r = \frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{13}}$

Теперь вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{13} \approx 3.606$:
$r \approx \frac{12 \cdot 1.732}{7 + 3.606}$
$r \approx \frac{20.784}{10.606}$
$r \approx 1.9597...$ см.

Округляем результат до $0.1$ см:
$r \approx 2.0$ см.

Ответ: $2.0$ см

Две стороны треугольника равны 10 см и 7 см, а косинус угла между ними равен $4/5$. Найдите площадь этого треугольника.

б) Каким должен быть угол C в $\triangle ABC$ со сторонами $CB = a$ и $CA = b$, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

а)

Дано:

Сторона $a = 10 \text{ см}$

Сторона $b = 7 \text{ см}$

Косинус угла между ними $\cos(\gamma) = \frac{4}{5}$

Перевод в СИ:

В данном случае, так как площадь будет выражена в квадратных сантиметрах, перевод в СИ не является строго необходимым для получения численного ответа в требуемых единицах измерения.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Площадь треугольника, заданного двумя сторонами и углом между ними, вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ - длины сторон, а $\gamma$ - угол между ними.

Нам известен косинус угла $\cos(\gamma) = \frac{4}{5}$. Чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.

Выразим $\sin(\gamma)$:

$\sin^2(\gamma) = 1 - \cos^2(\gamma)$

$\sin^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

Поскольку угол $\gamma$ является углом треугольника, он находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ ($0 < \gamma < \pi$). В этом диапазоне значение $\sin(\gamma)$ всегда положительно.

Следовательно:

$\sin(\gamma) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь подставим известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot \frac{3}{5}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 70 \text{ см}^2 \cdot \frac{3}{5}$

$S = 35 \text{ см}^2 \cdot \frac{3}{5}$

$S = \frac{35 \cdot 3}{5} \text{ см}^2 = \frac{105}{5} \text{ см}^2 = 21 \text{ см}^2$

Ответ: $21 \text{ см}^2$

б)

Дано:

Стороны треугольника $\Delta ABC$: $CB = a$, $CA = b$.

Угол между этими сторонами: $C$.

Найти:

Значение угла $C$, при котором площадь треугольника будет наибольшей.

Решение:

Площадь треугольника $\Delta ABC$ с заданными сторонами $a$ и $b$ и углом $C$ между ними определяется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(C)$.

Так как длины сторон $a$ и $b$ фиксированы (являются постоянными величинами для данного треугольника), то площадь $S$ будет максимальной тогда, когда функция $\sin(C)$ достигнет своего максимального значения.

Максимальное значение функции синуса равно $1$. Это значение достигается при угле $C = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Угол $C$ в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$ (исключая крайние точки, так как тогда треугольник вырождается в отрезок). В этом интервале $\sin(C)$ достигает максимума, равного $1$, только при $C = 90^\circ$.

Таким образом, чтобы площадь треугольника была наибольшей, угол $C$ должен быть равен $90^\circ$. В этом случае треугольник является прямоугольным.

Ответ: Угол $C$ должен быть равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

285. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

a) 13 см, 14 см и 15 см;

б) 12 см, 16 см, 21 см.

а)

Дано:

$a = 13 \text{ см}$
$b = 14 \text{ см}$
$c = 15 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$
$b = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$
$c = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $A$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,
где $s$ – полупериметр треугольника, вычисляемый как $s = \frac{a+b+c}{2}$.

Вычислим полупериметр для данного треугольника:
$s = \frac{13 \text{ см} + 14 \text{ см} + 15 \text{ см}}{2} = \frac{42 \text{ см}}{2} = 21 \text{ см}$.

Теперь подставим значения в формулу Герона:
$A = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$
$A = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$
$A = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$
$A = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$
$A = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
$A = 4 \cdot 3 \cdot 7$
$A = 12 \cdot 7$
$A = 84 \text{ см}^2$

Ответ: $84 \text{ см}^2$

б)

Дано:

$a = 12 \text{ см}$
$b = 16 \text{ см}$
$c = 21 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$b = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$c = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $A$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,
где $s$ – полупериметр треугольника, вычисляемый как $s = \frac{a+b+c}{2}$.

Вычислим полупериметр для данного треугольника:
$s = \frac{12 \text{ см} + 16 \text{ см} + 21 \text{ см}}{2} = \frac{49 \text{ см}}{2} = 24.5 \text{ см}$.

Теперь подставим значения в формулу Герона:
$A = \sqrt{24.5(24.5-12)(24.5-16)(24.5-21)}$
$A = \sqrt{24.5 \cdot 12.5 \cdot 8.5 \cdot 3.5}$
Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных:
$s = \frac{49}{2}$, $s-a = \frac{25}{2}$, $s-b = \frac{17}{2}$, $s-c = \frac{7}{2}$.
$A = \sqrt{\frac{49}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{17}{2} \cdot \frac{7}{2}}$
$A = \sqrt{\frac{49 \cdot 25 \cdot 17 \cdot 7}{16}}$
$A = \frac{\sqrt{(7^2) \cdot (5^2) \cdot 17 \cdot 7}}{4}$
$A = \frac{\sqrt{7^3 \cdot 5^2 \cdot 17}}{4}$
$A = \frac{7 \cdot 5 \sqrt{7 \cdot 17}}{4}$
$A = \frac{35 \sqrt{119}}{4} \text{ см}^2$
Приблизительное значение: $A \approx \frac{35 \cdot 10.9087}{4} \approx 95.45 \text{ см}^2$

Ответ: $\frac{35 \sqrt{119}}{4} \text{ см}^2 \approx 95.45 \text{ см}^2$

286. Найдите площадь и меньшую диагональ трапеции, если ее основания $4$ см и $9$ см, большая боковая сторона $5$ см, а прилежащий к ней угол $36^\circ$.

Дано:

Трапеция ABCD

Основания: $a = AD = 9 \text{ см}$, $b = BC = 4 \text{ см}$

Большая боковая сторона: $c_2 = CD = 5 \text{ см}$

Угол, прилежащий к большей боковой стороне: $\angle D = 36^\circ$

В системе СИ:

$a = 0.09 \text{ м}$

$b = 0.04 \text{ м}$

$c_2 = 0.05 \text{ м}$

$\angle D = 36^\circ$

Найти:

Площадь трапеции ($S$)

Меньшую диагональ трапеции ($d_{min}$)

Решение:

Пусть трапеция будет ABCD, где AD и BC - основания, AD - большее основание, BC - меньшее основание. CD - большая боковая сторона, а угол D = $36^\circ$. Опустим высоту CH из вершины C на основание AD.

1. Нахождение высоты трапеции:

В прямоугольном треугольнике CHD:

$CH = CD \cdot \sin(\angle D)$

$h = 5 \cdot \sin(36^\circ)$

Используем приближенное значение $\sin(36^\circ) \approx 0.587785$.

$h = 5 \cdot 0.587785 = 2.938925 \text{ см}$

Ответ: $h \approx 2.939 \text{ см}$

2. Нахождение площади трапеции:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{9 + 4}{2} \cdot (5 \cdot \sin(36^\circ))$

$S = \frac{13}{2} \cdot 5 \cdot \sin(36^\circ)$

$S = 32.5 \cdot \sin(36^\circ)$

$S = 32.5 \cdot 0.587785 = 19.10299 \text{ см}^2$

Ответ: $S \approx 19.103 \text{ см}^2$

3. Нахождение меньшей диагонали трапеции:

Найдем проекцию боковой стороны CD на основание AD:

$HD = CD \cdot \cos(\angle D)$

$HD = 5 \cdot \cos(36^\circ)$

Используем приближенное значение $\cos(36^\circ) \approx 0.809017$.

$HD = 5 \cdot 0.809017 = 4.045085 \text{ см}$

Теперь вычислим длины обеих диагоналей: AC и BD.

а) Диагональ AC:

Рассмотрим треугольник ACD. По теореме косинусов:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 9^2 + 5^2 - 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \cos(36^\circ)$

$AC^2 = 81 + 25 - 90 \cdot \cos(36^\circ)$

$AC^2 = 106 - 90 \cdot 0.809017$

$AC^2 = 106 - 72.81153 = 33.18847$

$AC = \sqrt{33.18847} \approx 5.76094 \text{ см}$

Ответ: $AC \approx 5.761 \text{ см}$

б) Диагональ BD:

Опустим высоту BK из вершины B на основание AD. Поскольку BCKН - прямоугольник, $KH = BC = 4 \text{ см}$.

Длина отрезка KD на основании AD: $KD = KH + HD = BC + HD$

$KD = 4 + 5 \cdot \cos(36^\circ)$

$KD = 4 + 4.045085 = 8.045085 \text{ см}$

В прямоугольном треугольнике BKD, высота $BK = h = 5 \cdot \sin(36^\circ)$.

По теореме Пифагора:

$BD^2 = BK^2 + KD^2$

$BD^2 = (5 \cdot \sin(36^\circ))^2 + (4 + 5 \cdot \cos(36^\circ))^2$

$BD^2 = 25 \cdot \sin^2(36^\circ) + 16 + 40 \cdot \cos(36^\circ) + 25 \cdot \cos^2(36^\circ)$

$BD^2 = 25(\sin^2(36^\circ) + \cos^2(36^\circ)) + 16 + 40 \cdot \cos(36^\circ)$

$BD^2 = 25 \cdot 1 + 16 + 40 \cdot \cos(36^\circ)$

$BD^2 = 41 + 40 \cdot \cos(36^\circ)$

$BD^2 = 41 + 40 \cdot 0.809017$

$BD^2 = 41 + 32.36068 = 73.36068$

$BD = \sqrt{73.36068} \approx 8.56508 \text{ см}$

Ответ: $BD \approx 8.565 \text{ см}$

Сравнивая длины диагоналей: $AC \approx 5.761 \text{ см}$ и $BD \approx 8.565 \text{ см}$.

Меньшая диагональ - это AC.

Ответ:

Площадь трапеции: $S \approx 19.103 \text{ см}^2$

Меньшая диагональ: $AC \approx 5.761 \text{ см}$

287. Найдите диагонали и площадь ромба с углом $35^\circ$ и стороной 7,5 см.

Дано:

Сторона ромба $a = 7.5 \text{ см}$
Угол ромба $\alpha = 35^\circ$

Перевод в систему СИ:
$a = 7.5 \text{ см} = 0.075 \text{ м}$
$\alpha = 35^\circ$ (градусы не переводятся в СИ, для вычислений используются как есть)

Найти:

Диагонали ромба $d_1, d_2$
Площадь ромба $S$

Решение:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Пусть диагонали ромба $d_1$ и $d_2$. Меньшая диагональ лежит напротив меньшего угла, большая — напротив большего. Угол $35^\circ$ является острым углом ромба. Тогда половина меньшего угла ромба будет $\frac{\alpha}{2} = \frac{35^\circ}{2} = 17.5^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, можно выразить половины диагоналей: $\frac{d_1}{2} = a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$
$\frac{d_2}{2} = a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$

Диагонали

Используя формулы для диагоналей: $d_1 = 2a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$
$d_2 = 2a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ Подставим значения $a = 7.5 \text{ см}$ и $\frac{\alpha}{2} = 17.5^\circ$: $d_1 = 2 \cdot 7.5 \cdot \sin(17.5^\circ) = 15 \cdot \sin(17.5^\circ)$
$d_1 \approx 15 \cdot 0.30070583 \approx 4.51058745 \text{ см}$ $d_2 = 2 \cdot 7.5 \cdot \cos(17.5^\circ) = 15 \cdot \cos(17.5^\circ)$
$d_2 \approx 15 \cdot 0.95371695 \approx 14.30575425 \text{ см}$

Ответ: $d_1 \approx 4.51 \text{ см}$, $d_2 \approx 14.31 \text{ см}$

Площадь ромба

Площадь ромба может быть найдена по формуле $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — один из его углов. Подставим значения $a = 7.5 \text{ см}$ и $\alpha = 35^\circ$: $S = (7.5)^2 \cdot \sin(35^\circ)$
$S = 56.25 \cdot \sin(35^\circ)$
$S \approx 56.25 \cdot 0.57357644 \approx 32.26367475 \text{ см}^2$

Ответ: $S \approx 32.264 \text{ см}^2$