Номер 282, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

282. Найдите с точностью до $0,1$ см сторону $AB$ остроугольного $\triangle ABC$, в котором $CB = 5$ см, $\sin\angle C = 0,64$, а расстояние от центра окружности, описанной около него, до стороны $BC$ равно $0,5$ см.

Дано

$CB = 5 \text{ см}$

$\sin \angle C = 0,64$

$d_{BC} = 0,5 \text{ см}$ (расстояние от центра описанной окружности до стороны $BC$)

$\triangle ABC$ - остроугольный

Перевод в СИ (для справки, вычисления будут в см):

$CB = 0,05 \text{ м}$

$d_{BC} = 0,005 \text{ м}$

Найти:

$AB$

Решение

Пусть $O$ - центр описанной окружности, $R$ - радиус описанной окружности. Пусть $M$ - середина стороны $BC$. Поскольку $O$ - центр описанной окружности, $OM$ является перпендикуляром к стороне $BC$, и его длина равна расстоянию от центра описанной окружности до стороны $BC$. Таким образом, $OM = d_{BC} = 0,5 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OMB$ (где $M$ - середина $BC$, $OM \perp BC$):

Гипотенуза $OB$ является радиусом описанной окружности, $OB = R$.

Катет $BM = \frac{1}{2} CB = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

По теореме Пифагора для $\triangle OMB$:

$OB^2 = OM^2 + BM^2$

$R^2 = (0,5)^2 + (2,5)^2$

$R^2 = 0,25 + 6,25$

$R^2 = 6,5$

$R = \sqrt{6,5} \text{ см}$

Для нахождения стороны $AB$ воспользуемся теоремой синусов. Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$.

По теореме синусов:

$\frac{AB}{\sin \angle C} = 2R$

$AB = 2R \sin \angle C$

Подставляем известные значения:

$AB = 2 \cdot \sqrt{6,5} \cdot 0,64$

$AB = 1,28 \cdot \sqrt{6,5}$

Вычислим приближенное значение $\sqrt{6,5}$:

$\sqrt{6,5} \approx 2,54950975679$

Теперь вычислим $AB$:

$AB \approx 1,28 \cdot 2,54950975679$

$AB \approx 3,2633724887$

Округлим результат до точности 0,1 см:

$AB \approx 3,3 \text{ см}$

Ответ:

$3,3 \text{ см}$