Практическое задание, страница 124 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Свойства касательной и секущей, пересекающихся хорд окружности. III. Решение треугольников - страница 124.

Условие.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Начертите три произвольных треугольника и в каждый из них впишите окружность. Измерьте радиусы этих окружностей и длины сторон треугольников. Какую зависимость между площадью треугольника, его периметром и радиусом вписанной окружности вы можете установить?

Решение.

Решение 2.

Дано

Три произвольных треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Необходимо установить зависимость между площадью треугольника ($S$), его периметром ($P$) и радиусом вписанной окружности ($r$).

Перевод в СИ:

Данные не представлены в числовом виде, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Предполагается использование стандартных единиц длины (например, метры) для сторон и радиусов, и производных единиц площади (например, квадратные метры).

Найти:

Зависимость между $S$, $P$, $r$.

Решение

Для установления зависимости между площадью треугольника, его периметром и радиусом вписанной окружности, необходимо рассмотреть геометрические свойства треугольника с вписанной окружностью. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной треугольника, перпендикулярен этой стороне.

Рассмотрим произвольный треугольник с вершинами $A$, $B$, $C$ и длинами сторон $a$, $b$, $c$ (сторона $a$ противолежит вершине $A$, $b$ – $B$, $c$ – $C$). Пусть $O$ – центр вписанной окружности, а $r$ – ее радиус. Соединим центр $O$ с каждой из вершин треугольника $A$, $B$, $C$. Это действие разделит исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $AOB$, $BOC$ и $COA$.

Высота каждого из этих трех меньших треугольников, опущенная из центра $O$ на соответствующую сторону (например, из $O$ на $AB$), равна радиусу вписанной окружности $r$, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Площадь всего треугольника $ABC$ ($S$) равна сумме площадей этих трех треугольников:

$S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$

Используя формулу площади треугольника как половину произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$), мы можем записать площади каждого из малых треугольников:

Площадь треугольника $AOB$: $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$

Площадь треугольника $BOC$: $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$

Площадь треугольника $COA$: $S_{COA} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot r = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

Теперь сложим эти площади, чтобы получить общую площадь треугольника $ABC$:

$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}r(a + b + c)$

Периметр треугольника $P$ определяется как сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Подставив определение периметра в полученную формулу для площади, получаем искомую зависимость:

$S = \frac{1}{2}Pr$

Эту же зависимость можно выразить через полупериметр $p$, который равен половине периметра ($p = \frac{P}{2}$):

$S = pr$

Таким образом, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Выполнение практического задания по черчению и измерению различных треугольников и их вписанных окружностей позволило бы эмпирически подтвердить эту математическую зависимость.

Ответ:

Зависимость между площадью треугольника ($S$), его периметром ($P$) и радиусом вписанной окружности ($r$) выражается формулой $S = \frac{1}{2}Pr$ или, что то же самое, $S = pr$, где $p$ – полупериметр треугольника.