Номер 274, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

274. Из точки $A$, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная $AB$ ($B$ – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$ ($C$ лежит между $A$ и $D$). Известно, что $AB = 16$ см, $AD = 32$ см, а расстояние от центра окружности до секущей равно $5$ см. Найдите радиус окружности.

Дано:

Длина касательной $AB = 16 \text{ см}$

Длина секущей от внешней точки до дальней точки пересечения $AD = 32 \text{ см}$

Расстояние от центра окружности до секущей $OM = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AB = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$AD = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$

$OM = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности $R$.

Решение:

Применение теоремы о касательной и секущей

По теореме о касательной и секущей, квадрат длины касательной, проведенной из внешней точки к окружности, равен произведению длины всей секущей, проведенной из той же точки, на ее внешнюю часть.

В данном случае: $AB^2 = AC \cdot AD$

Подставим известные значения:

$(16 \text{ см})^2 = AC \cdot (32 \text{ см})$

$256 \text{ см}^2 = AC \cdot 32 \text{ см}$

Вычислим $AC$:

$AC = \frac{256}{32} \text{ см}$

$AC = 8 \text{ см}$

Ответ: $AC = 8 \text{ см}$

Нахождение длины хорды CD

Точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Следовательно, длина отрезка $CD$ равна разности длин отрезков $AD$ и $AC$.

$CD = AD - AC$

$CD = 32 \text{ см} - 8 \text{ см}$

$CD = 24 \text{ см}$

Ответ: $CD = 24 \text{ см}$

Использование свойства хорды

Пусть $O$ - центр окружности. Расстояние от центра окружности до секущей $AD$ (которая содержит хорду $CD$) равно $OM = 5 \text{ см}$, где $M$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из $O$ на $CD$.

Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.

Следовательно, $M$ является серединой хорды $CD$.

$MD = \frac{CD}{2}$

$MD = \frac{24 \text{ см}}{2}$

$MD = 12 \text{ см}$

Ответ: $MD = 12 \text{ см}$

Нахождение радиуса окружности

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMD$. Катеты этого треугольника - $OM$ (расстояние от центра до хорды) и $MD$ (половина длины хорды). Гипотенуза $OD$ является радиусом окружности ($R$).

По теореме Пифагора:

$OD^2 = OM^2 + MD^2$

$R^2 = (5 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$R^2 = 25 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$R^2 = 169 \text{ см}^2$

$R = \sqrt{169 \text{ см}^2}$

$R = 13 \text{ см}$

Ответ: $R = 13 \text{ см}$

Окончательный ответ: радиус окружности равен $13 \text{ см}$.