Номер 272, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

272. a) Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$ так, что $CM = MD$, $AM = 8$ см, $MB = 2$ см. Найдите хорду $CD$.

б) Из двух пересекающихся хорд окружности одна разделена точкой пересечения на отрезки, равные 12 см и 18 см, а другая – в отношении $3 : 8$. Найдите длину другой хорды.

в) В окружности проведены две хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $M$. Известно, что $AB = 15$ см, $CM = 9$ см, $MD = 4$ см, а расстояние между точками $A$ и $C$ равно 11 см. Найдите острый угол между этими хордами.

а)

Дано

Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$.

$CM = MD$

$AM = 8$ см

$MB = 2$ см

Найти

Длину хорды $CD$.

Решение

При пересечении двух хорд в окружности произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае это выражается формулой:

$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Подставим известные значения:

$8 \cdot 2 = CM \cdot MD$

$16 = CM \cdot MD$

По условию задачи, $CM = MD$. Обозначим эту общую длину за $x$. Тогда уравнение примет вид:

$16 = x \cdot x$

$x^2 = 16$

Извлекаем квадратный корень. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительное значение:

$x = \sqrt{16}$

$x = 4$ см

Таким образом, $CM = 4$ см и $MD = 4$ см.

Длина хорды $CD$ равна сумме длин отрезков $CM$ и $MD$:

$CD = CM + MD = 4 + 4 = 8$ см

Ответ: 8 см

б)

Дано

Две пересекающиеся хорды окружности.

Первая хорда разделена точкой пересечения на отрезки $L_1 = 12$ см и $L_2 = 18$ см.

Вторая хорда разделена точкой пересечения в отношении $3 : 8$.

Найти

Длину другой хорды.

Решение

Пусть первая хорда разделена на отрезки $AM = 12$ см и $MB = 18$ см. Пусть вторая хорда разделена на отрезки $CM$ и $MD$, которые относятся как $3 : 8$. Это означает, что $CM = 3k$ и $MD = 8k$ для некоторого коэффициента $k$.

По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Подставим известные значения:

$12 \cdot 18 = (3k) \cdot (8k)$

$216 = 24k^2$

Разделим обе части уравнения на 24, чтобы найти $k^2$:

$k^2 = \frac{216}{24}$

$k^2 = 9$

Извлекаем квадратный корень. Так как $k$ представляет собой коэффициент, связанный с длиной, он должен быть положительным:

$k = \sqrt{9}$

$k = 3$

Теперь найдем длины отрезков второй хорды:

$CM = 3k = 3 \cdot 3 = 9$ см

$MD = 8k = 8 \cdot 3 = 24$ см

Длина другой хорды равна сумме длин этих отрезков:

Длина хорды $= CM + MD = 9 + 24 = 33$ см

Ответ: 33 см

в)

Дано

Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$.

$AB = 15$ см

$CM = 9$ см

$MD = 4$ см

$AC = 11$ см

Найти

Острый угол между хордами (угол $\angle AMC$ или $\angle AMD$).

Решение

1. Найдем длины отрезков хорды $AB$.

По свойству пересекающихся хорд:

$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Подставим известные значения $CM$ и $MD$:

$AM \cdot MB = 9 \cdot 4$

$AM \cdot MB = 36$

Нам известно, что $AB = AM + MB = 15$ см. Пусть $AM = x$, тогда $MB = 15 - x$.

Составим уравнение:

$x \cdot (15 - x) = 36$

$15x - x^2 = 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 15x + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$

Найдем корни $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{15 \pm 9}{2}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Эти значения соответствуют длинам отрезков $AM$ и $MB$. То есть, если $AM = 12$ см, то $MB = 3$ см, и наоборот. Для нахождения угла между хордами выбор конкретного отрезка не важен, поскольку углы $\angle AMC$ и $\angle DMB$ равны как вертикальные, а $\angle AMD$ и $\angle CMB$ равны как вертикальные. Угол между хордами либо $\angle AMC$ (и $\angle DMB$), либо $\angle AMD$ (и $\angle CMB$). Мы найдем косинус угла $\angle AMC$. Выберем $AM = 12$ см и $MB = 3$ см.

2. Найдем острый угол между хордами.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Его стороны известны:

$AM = 12$ см (выбранное значение)

$CM = 9$ см (дано)

$AC = 11$ см (дано)

Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle AMC$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\angle AMC)$

Подставим значения:

$11^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos(\angle AMC)$

$121 = 144 + 81 - 216 \cdot \cos(\angle AMC)$

$121 = 225 - 216 \cdot \cos(\angle AMC)$

Выразим $216 \cdot \cos(\angle AMC)$:

$216 \cdot \cos(\angle AMC) = 225 - 121$

$216 \cdot \cos(\angle AMC) = 104$

Найдем $\cos(\angle AMC)$:

$\cos(\angle AMC) = \frac{104}{216}$

Сократим дробь:

$\cos(\angle AMC) = \frac{13}{27}$

Так как значение косинуса положительное ($\frac{13}{27} > 0$), угол $\angle AMC$ является острым. Если бы $\cos(\angle AMC)$ был отрицательным, то угол $\angle AMC$ был бы тупым, и острым углом между хордами был бы смежный с ним угол (например, $\angle AMD$), косинус которого был бы равен $|\cos(\angle AMC)|$.

Следовательно, острый угол между хордами равен $\arccos(\frac{13}{27})$.

Ответ: $\arccos(\frac{13}{27})$