Номер 270, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

270. Точки A и B разбивают окружность на две дуги $AMB$ и $ANB$, градусные меры которых относятся как $7 : 17$. Через точку A проведена касательная $CD$ к окружности. Найдите угол между прямыми $CD$ и $AB$.

Дано:

Точки $A$ и $B$ на окружности.

Градусные меры дуг $\stackrel{\text{frown}}{AMB}$ и $\stackrel{\text{frown}}{ANB}$ относятся как $7 : 17$.

Прямая $CD$ - касательная к окружности в точке $A$.

Найти:

Угол между прямыми $CD$ и $AB$.

Решение:

Обозначим градусную меру дуги $\stackrel{\text{frown}}{AMB}$ как $7x$, а градусную меру дуги $\stackrel{\text{frown}}{ANB}$ как $17x$.

Сумма градусных мер всех дуг, на которые точки на окружности разбивают ее, составляет $360^\circ$.

Таким образом, сумма градусных мер дуг $\stackrel{\text{frown}}{AMB}$ и $\stackrel{\text{frown}}{ANB}$ равна $360^\circ$:

$7x + 17x = 360^\circ$

$24x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{24}$

$x = 15^\circ$

Теперь вычислим градусные меры каждой дуги:

Мера дуги $\stackrel{\text{frown}}{AMB} = 7x = 7 \times 15^\circ = 105^\circ$.

Мера дуги $\stackrel{\text{frown}}{ANB} = 17x = 17 \times 15^\circ = 255^\circ$.

Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними.

Угол между касательной $CD$ (например, угол $\angle DAB$) и хордой $AB$ опирается на дугу $\stackrel{\text{frown}}{AMB}$.

Следовательно, $\angle DAB = \frac{1}{2} \text{m}(\stackrel{\text{frown}}{AMB})$.

$\angle DAB = \frac{1}{2} \times 105^\circ = 52.5^\circ$.

Другой угол между касательной $CD$ и хордой $AB$ (например, угол $\angle CAB$) опирается на дугу $\stackrel{\text{frown}}{ANB}$.

$\angle CAB = \frac{1}{2} \text{m}(\stackrel{\text{frown}}{ANB}) = \frac{1}{2} \times 255^\circ = 127.5^\circ$.

Угол между двумя прямыми по определению является острым или прямым углом, образованным этими прямыми.

Ответ:

Угол между прямыми $CD$ и $AB$ равен $52.5^\circ$.