Вопросы, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Чему равна градусная мера угла между касательной и хордой, проведенной из точки касания?

2. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной и секущей к окружности, проведенных через одну точку.

3. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд окружности.

1. Чему равна градусная мера угла между касательной и хордой, проведенной из точки касания?

Градусная мера угла между касательной к окружности и хордой, проведенной из точки касания, равна половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла. Этот угол также равен любому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Ответ: Градусная мера угла между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равна половине угловой величины дуги, заключенной между ними, или равна любому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

2. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной и секущей к окружности, проведенных через одну точку.

Формулировка: Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длины всего отрезка секущей на длину ее внешней части.

Дано: Окружность, внешняя точка $P$. Касательная $PT$ касается окружности в точке $T$. Секущая $PAB$ пересекает окружность в точках $A$ и $B$, причем точка $A$ лежит между $P$ и $B$.

Найти: Доказать, что $PT^2 = PA \cdot PB$.

Решение:
Рассмотрим треугольники $\triangle PTA$ и $\triangle PBT$.
1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.
2. Угол между касательной $PT$ и хордой $AT$ (угол $\angle PTA$) равен половине градусной меры дуги $AT$. Вписанный угол $\angle ABT$ (или $\angle PBA$) также опирается на дугу $AT$, поэтому он равен половине градусной меры дуги $AT$.
Следовательно, $\angle PTA = \angle ABT$.
Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (угол $P$ общий и $\angle PTA = \angle PBT$), то треугольники $\triangle PTA$ и $\triangle PBT$ подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}$
Перемножая крест-на-крест, получаем:
$PT \cdot PT = PA \cdot PB$
$PT^2 = PA \cdot PB$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Сформулированная и доказанная теорема представлена выше.

3. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд окружности.

Формулировка: Если две хорды окружности пересекаются внутри этой окружности, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано: Окружность, две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ внутри окружности.

Найти: Доказать, что $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Решение:
Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.
1. Углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle APC = \angle DPB$.
2. Углы $\angle PAC$ (или $\angle BAC$) и $\angle PDB$ (или $\angle CDB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$. Следовательно, они равны: $\angle PAC = \angle PDB$.
Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (по первому признаку подобия треугольников), то треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$
Перемножая крест-на-крест, получаем:
$AP \cdot PB = CP \cdot DP$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Сформулированная и доказанная теорема представлена выше.