Номер 264, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

264. a) Хорда $AB$ стягивает дугу, равную $105^{\circ}$, а хорда $AC$ – дугу, равную $45^{\circ}$. Найдите $\angle BAC$.

б) Найдите угол между хордой $AB$, стягивающей дугу в $52^{\circ}$, и диаметром $BC$.

a)

Дано:

Дуга $AB = 105^\circ$
Дуга $AC = 45^\circ$

Найти:

$\angle BAC$

Решение:

Угол $\angle BAC$ является вписанным углом. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. В данном случае, угол $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$.

Возможны два случая расположения точек $B$ и $C$ относительно точки $A$ на окружности:

1. Точки $B$ и $C$ расположены по одну сторону от точки $A$ (то есть дуга $AC$ является частью дуги $AB$, если смотреть от $A$ в одном направлении по окружности, например, A-C-B). В этом случае, дуга $BC$ равна абсолютной разности дуг $AB$ и $AC$:
$\text{дуга } BC = |\text{дуга } AB - \text{дуга } AC| = |105^\circ - 45^\circ| = 60^\circ$
Тогда $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

2. Точки $B$ и $C$ расположены по разные стороны от точки $A$ (то есть дуги $AB$ и $AC$ откладываются от $A$ в разных направлениях, например, B-A-C). В этом случае, дуга $BC$ равна сумме дуг $AB$ и $AC$:
$\text{дуга } BC = \text{дуга } AB + \text{дуга } AC = 105^\circ + 45^\circ = 150^\circ$
Тогда $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$.

При отсутствии дополнительной информации о взаимном расположении точек $A, B, C$ на окружности, оба решения являются допустимыми.

Ответ: $30^\circ$ или $75^\circ$.

б)

Дано:

Хорда $AB$ стягивает дугу $52^\circ$
$BC$ - диаметр окружности

Найти:

Угол между хордой $AB$ и диаметром $BC$ ($\angle ABC$)

Решение:

Поскольку $BC$ является диаметром окружности, треугольник $ABC$, вписанный в окружность, является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ (угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$).

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом и опирается на дугу $AC$.
Величина дуги, на которую опирается угол $\angle ABC$, находится как разность между дугой полуокружности и дугой $AB$.
Поскольку $BC$ - диаметр, дуга, которую он стягивает (полуокружность), равна $180^\circ$.
Следовательно, дуга $AC = 180^\circ - \text{дуга } AB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 128^\circ = 64^\circ$.

Ответ: $64^\circ$.