Номер 268, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

268. Хорда $AB$ параллельна диаметру $CD$ окружности. Найдите $AB$, если $AC=3$ дм, $BC=4$ дм.

Дано:

Окружность, хорда $AB$ параллельна диаметру $CD$.

$AC = 3$ дм

$BC = 4$ дм

Найти:

$AB$

Решение:

1. Поскольку хорда $AB$ параллельна диаметру $CD$, дуги, заключенные между параллельными линиями, равны. То есть, дуга $AC$ равна дуге $BD$.

2. Равные дуги стягивают равные хорды. Следовательно, длина хорды $AC$ равна длине хорды $BD$.

Так как $AC = 3$ дм, то $BD = 3$ дм.

3. Рассмотрим треугольник $BCD$. Вершины $B$, $C$, $D$ лежат на окружности, а сторона $CD$ является диаметром окружности. Угол, вписанный в полуокружность и опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle CBD = 90^\circ$.

4. Треугольник $BCD$ является прямоугольным треугольником с катетами $BC = 4$ дм и $BD = 3$ дм.

По теореме Пифагора для $\triangle BCD$ находим длину диаметра $CD$ (гипотенузы):

$CD^2 = BC^2 + BD^2$

$CD^2 = 4^2 + 3^2$

$CD^2 = 16 + 9$

$CD^2 = 25$

$CD = \sqrt{25} = 5$ дм.

Таким образом, диаметр окружности равен $5$ дм, а радиус $R = \frac{CD}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ дм.

5. Пусть центр окружности - точка $O$. Проведем перпендикуляр $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$. Точка $M$ будет серединой хорды $AB$ (по свойству хорды и радиуса, перпендикулярного ей).

6. Для нахождения длины хорды $AB$, нам нужно найти $AM$. Мы знаем радиус $OA = R = 2.5$ дм. Также нам нужно найти расстояние $OM$ от центра окружности до хорды $AB$.

7. Воспользуемся координатами для определения расстояния $OM$. Пусть центр окружности $O$ находится в начале координат $(0,0)$, а диаметр $CD$ лежит на оси $x$. Тогда $C=(2.5, 0)$ и $D=(-2.5, 0)$.

Пусть координаты точки $A$ будут $(x_A, y_A)$. Так как $A$ лежит на окружности, $x_A^2 + y_A^2 = R^2 = (2.5)^2 = 6.25$.

Расстояние $AC = 3$ дм. Используем формулу расстояния между точками $A(x_A, y_A)$ и $C(2.5, 0)$:

$AC^2 = (x_A - 2.5)^2 + (y_A - 0)^2$

$3^2 = x_A^2 - 2 \cdot x_A \cdot 2.5 + (2.5)^2 + y_A^2$

$9 = x_A^2 - 5x_A + 6.25 + y_A^2$

Подставим $x_A^2 + y_A^2 = 6.25$ в уравнение:

$9 = 6.25 - 5x_A + 6.25$

$9 = 12.5 - 5x_A$

$5x_A = 12.5 - 9$

$5x_A = 3.5$

$x_A = \frac{3.5}{5} = 0.7$

Теперь найдем $y_A$:

$y_A^2 = 6.25 - x_A^2 = 6.25 - (0.7)^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$

$y_A = \sqrt{5.76} = 2.4$ (мы можем выбрать положительное значение $y_A$, так как хорда $AB$ параллельна $CD$ и может располагаться выше или ниже диаметра).

Так как $AB \parallel CD$, то $y$-координата точки $A$ (или $B$) является расстоянием $OM$ от центра до хорды $AB$. То есть, $OM = |y_A| = 2.4$ дм.

8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. Гипотенуза $OA = R = 2.5$ дм, катет $OM = 2.4$ дм. Используем теорему Пифагора для нахождения $AM$:

$AM^2 = OA^2 - OM^2$

$AM^2 = (2.5)^2 - (2.4)^2$

$AM^2 = 6.25 - 5.76$

$AM^2 = 0.49$

$AM = \sqrt{0.49} = 0.7$ дм.

9. Поскольку $M$ является серединой хорды $AB$, длина хорды $AB = 2 \cdot AM$.

$AB = 2 \cdot 0.7 = 1.4$ дм.

Ответ: 1.4 дм