Номер 271, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

271. К окружности с центром в точке $O$ проведены касательная $AB$ ($B$ — точка касания) и секущая $AO$, имеющая с окружностью общие точки $C$ и $D$ ($C$ лежит между точками $A$ и $O$). Найдите $\angle ABC$ и $\angle BAC$, если $\stackrel{\frown}{BD} = 124^\circ$.

Дано

Окружность с центром $O$.

Касательная $AB$ к окружности в точке $B$ (точка касания).

Секущая $AO$ пересекает окружность в точках $C$ и $D$.

Точка $C$ лежит между $A$ и $O$ ($A-C-O-D$).

Дуга $\text{BD} = 124^\circ$.

Найти:

$\angle ABC$

$\angle BAC$

Решение

1. Определение положения точек и дуг

Так как секущая $AO$ проходит через центр окружности $O$ и пересекает окружность в точках $C$ и $D$, то отрезок $CD$ является диаметром окружности. Условие "C лежит между точками A и O" означает, что порядок точек на прямой $AO$ следующий: $A - C - O - D$.

По условию, дуга $\text{BD} = 124^\circ$. Центральный угол, соответствующий дуге $BD$, равен мере этой дуги: $\angle BOD = 124^\circ$.

Так как $CD$ является диаметром, то точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой. Угол $\angle COD$ является развернутым, то есть $\angle COD = 180^\circ$.

Угол $\angle BOC$ является смежным с $\angle BOD$ относительно прямой $CD$. Следовательно, $\angle BOC = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

Мера дуги $BC$ равна мере центрального угла $\angle BOC$: $\text{дуга } BC = 56^\circ$.

2. Нахождение $\angle ABC$

Угол $\angle ABC$ является углом между касательной $AB$ и хордой $BC$, проведенной из точки касания $B$. Величина такого угла равна половине меры дуги, заключенной между его сторонами (дуга $BC$).

$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 56^\circ = 28^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 28^\circ$

3. Нахождение $\angle BAC$

Для нахождения $\angle BAC$ используем два метода, которые должны дать одинаковый результат.

Метод 1: Использование теоремы об угле между касательной и секущей.

Угол между касательной ($AB$) и секущей ($AD$, которая является частью $AO$) из внешней точки $A$ равен половине разности мер заключенных дуг ($BD$ и $BC$).

$\angle BAC = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } BC)$.

$\angle BAC = \frac{1}{2} (124^\circ - 56^\circ) = \frac{1}{2} (68^\circ) = 34^\circ$.

Метод 2: Использование суммы углов в треугольнике $ABC$.

Мы уже нашли $\angle ABC = 28^\circ$.

Найдем $\angle ACB$. Угол $\angle ACB$ является углом в треугольнике $ABC$. Точки $A, C, D$ лежат на одной прямой, при этом $C$ находится между $A$ и $D$. Следовательно, луч $CA$ и луч $CD$ являются противоположными лучами.

Рассмотрим угол $\angle BCD$. Это вписанный угол, опирающийся на дугу $BD$. Мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается.

$\angle BCD = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BD = \frac{1}{2} \cdot 124^\circ = 62^\circ$.

Так как лучи $CA$ и $CD$ противоположны, то углы $\angle ACB$ и $\angle BCD$ являются смежными углами.

$\angle ACB + \angle BCD = 180^\circ$.

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

Теперь найдем $\angle BAC$ из суммы углов треугольника $ABC$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.

$\angle BAC + 28^\circ + 118^\circ = 180^\circ$.

$\angle BAC + 146^\circ = 180^\circ$.

$\angle BAC = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.

Оба метода дают одинаковый результат, что подтверждает его правильность.

Ответ: $\angle BAC = 34^\circ$