Номер 273, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

273. На радиусе окружности, равном 2,6 см, отмечена точка C, отстоящая от ее центра на расстоянии 1 см. Через точку C проведена хорда $AB$, равная 5 см. Найдите отрезки $AC$ и $CB$.

Дано:

Радиус окружности $R = 2.6 \text{ см}$

Расстояние от центра до точки $C$: $OC = 1 \text{ см}$

Длина хорды $AB = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Радиус окружности $R = 2.6 \text{ см} = 0.026 \text{ м}$

Расстояние от центра до точки $C$: $OC = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Длина хорды $AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длины отрезков $AC$ и $CB$.

Решение:

Пусть $O$ - центр окружности. Точка $C$ находится на расстоянии $OC = 1 \text{ см}$ от центра. Через точку $C$ проведена хорда $AB$ длиной $5 \text{ см}$. Нам необходимо найти длины отрезков $AC$ и $CB$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности. Если через точку $C$, лежащую внутри окружности, проведены две хорды $AB$ и $PQ$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, т.е. $AC \cdot CB = PC \cdot CQ$.

В нашем случае, одной из хорд является $AB$. В качестве второй хорды рассмотрим диаметр, который проходит через точку $C$ и центр окружности $O$. Пусть этот диаметр пересекает окружность в точках $P$ и $Q$.

Тогда отрезки диаметра $PQ$, образованные точкой $C$, будут иметь следующие длины:

$PC = R - OC$ (это расстояние от точки $C$ до ближайшей точки на окружности вдоль диаметра, проходящего через $C$ и $O$).

$CQ = R + OC$ (это расстояние от точки $C$ до дальней точки на окружности вдоль того же диаметра).

Подставим известные значения: радиус окружности $R = 2.6 \text{ см}$ и расстояние $OC = 1 \text{ см}$.

$PC = 2.6 \text{ см} - 1 \text{ см} = 1.6 \text{ см}$

$CQ = 2.6 \text{ см} + 1 \text{ см} = 3.6 \text{ см}$

Согласно теореме о степени точки, произведение отрезков хорды $AB$ равно произведению отрезков диаметра $PQ$:

$AC \cdot CB = PC \cdot CQ$

$AC \cdot CB = (R - OC)(R + OC)$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$AC \cdot CB = R^2 - OC^2$

Подставляем числовые значения:

$AC \cdot CB = (2.6)^2 - (1)^2$

$AC \cdot CB = 6.76 - 1$

$AC \cdot CB = 5.76 \text{ см}^2$

Пусть длина отрезка $AC$ равна $x$, а длина отрезка $CB$ равна $y$. Известно, что длина всей хорды $AB = AC + CB = 5 \text{ см}$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$x + y = 5 \quad (1)$

$x \cdot y = 5.76 \quad (2)$

Из уравнения (1) выразим $y$ через $x$: $y = 5 - x$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$x(5 - x) = 5.76$

$5x - x^2 = 5.76$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5x + 5.76 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.

В данном уравнении $a=1$, $b=-5$, $c=5.76$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5.76$

$D = 25 - 23.04$

$D = 1.96$

Теперь найдем корни $x$:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{1.96}}{2 \cdot 1}$

Корень из $1.96$ равен $1.4$ ($\sqrt{1.96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{14}{10} = 1.4$).

$x = \frac{5 \pm 1.4}{2}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{5 + 1.4}{2} = \frac{6.4}{2} = 3.2 \text{ см}$

$x_2 = \frac{5 - 1.4}{2} = \frac{3.6}{2} = 1.8 \text{ см}$

Если $AC = 3.2 \text{ см}$, то $CB = 5 - 3.2 = 1.8 \text{ см}$.

Если $AC = 1.8 \text{ см}$, то $CB = 5 - 1.8 = 3.2 \text{ см}$.

Таким образом, длины отрезков $AC$ и $CB$ составляют $3.2 \text{ см}$ и $1.8 \text{ см}$.

Ответ:

Длины отрезков $AC$ и $CB$ равны $3.2 \text{ см}$ и $1.8 \text{ см}$.