Страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

272. a) Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$ так, что $CM = MD$, $AM = 8$ см, $MB = 2$ см. Найдите хорду $CD$.

б) Из двух пересекающихся хорд окружности одна разделена точкой пересечения на отрезки, равные 12 см и 18 см, а другая – в отношении $3 : 8$. Найдите длину другой хорды.

в) В окружности проведены две хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $M$. Известно, что $AB = 15$ см, $CM = 9$ см, $MD = 4$ см, а расстояние между точками $A$ и $C$ равно 11 см. Найдите острый угол между этими хордами.

а)

Дано

Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$.

$CM = MD$

$AM = 8$ см

$MB = 2$ см

Найти

Длину хорды $CD$.

Решение

При пересечении двух хорд в окружности произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае это выражается формулой:

$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Подставим известные значения:

$8 \cdot 2 = CM \cdot MD$

$16 = CM \cdot MD$

По условию задачи, $CM = MD$. Обозначим эту общую длину за $x$. Тогда уравнение примет вид:

$16 = x \cdot x$

$x^2 = 16$

Извлекаем квадратный корень. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительное значение:

$x = \sqrt{16}$

$x = 4$ см

Таким образом, $CM = 4$ см и $MD = 4$ см.

Длина хорды $CD$ равна сумме длин отрезков $CM$ и $MD$:

$CD = CM + MD = 4 + 4 = 8$ см

Ответ: 8 см

б)

Дано

Две пересекающиеся хорды окружности.

Первая хорда разделена точкой пересечения на отрезки $L_1 = 12$ см и $L_2 = 18$ см.

Вторая хорда разделена точкой пересечения в отношении $3 : 8$.

Найти

Длину другой хорды.

Решение

Пусть первая хорда разделена на отрезки $AM = 12$ см и $MB = 18$ см. Пусть вторая хорда разделена на отрезки $CM$ и $MD$, которые относятся как $3 : 8$. Это означает, что $CM = 3k$ и $MD = 8k$ для некоторого коэффициента $k$.

По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Подставим известные значения:

$12 \cdot 18 = (3k) \cdot (8k)$

$216 = 24k^2$

Разделим обе части уравнения на 24, чтобы найти $k^2$:

$k^2 = \frac{216}{24}$

$k^2 = 9$

Извлекаем квадратный корень. Так как $k$ представляет собой коэффициент, связанный с длиной, он должен быть положительным:

$k = \sqrt{9}$

$k = 3$

Теперь найдем длины отрезков второй хорды:

$CM = 3k = 3 \cdot 3 = 9$ см

$MD = 8k = 8 \cdot 3 = 24$ см

Длина другой хорды равна сумме длин этих отрезков:

Длина хорды $= CM + MD = 9 + 24 = 33$ см

Ответ: 33 см

в)

Дано

Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$.

$AB = 15$ см

$CM = 9$ см

$MD = 4$ см

$AC = 11$ см

Найти

Острый угол между хордами (угол $\angle AMC$ или $\angle AMD$).

Решение

1. Найдем длины отрезков хорды $AB$.

По свойству пересекающихся хорд:

$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Подставим известные значения $CM$ и $MD$:

$AM \cdot MB = 9 \cdot 4$

$AM \cdot MB = 36$

Нам известно, что $AB = AM + MB = 15$ см. Пусть $AM = x$, тогда $MB = 15 - x$.

Составим уравнение:

$x \cdot (15 - x) = 36$

$15x - x^2 = 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 15x + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$

Найдем корни $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{15 \pm 9}{2}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Эти значения соответствуют длинам отрезков $AM$ и $MB$. То есть, если $AM = 12$ см, то $MB = 3$ см, и наоборот. Для нахождения угла между хордами выбор конкретного отрезка не важен, поскольку углы $\angle AMC$ и $\angle DMB$ равны как вертикальные, а $\angle AMD$ и $\angle CMB$ равны как вертикальные. Угол между хордами либо $\angle AMC$ (и $\angle DMB$), либо $\angle AMD$ (и $\angle CMB$). Мы найдем косинус угла $\angle AMC$. Выберем $AM = 12$ см и $MB = 3$ см.

2. Найдем острый угол между хордами.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Его стороны известны:

$AM = 12$ см (выбранное значение)

$CM = 9$ см (дано)

$AC = 11$ см (дано)

Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle AMC$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\angle AMC)$

Подставим значения:

$11^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos(\angle AMC)$

$121 = 144 + 81 - 216 \cdot \cos(\angle AMC)$

$121 = 225 - 216 \cdot \cos(\angle AMC)$

Выразим $216 \cdot \cos(\angle AMC)$:

$216 \cdot \cos(\angle AMC) = 225 - 121$

$216 \cdot \cos(\angle AMC) = 104$

Найдем $\cos(\angle AMC)$:

$\cos(\angle AMC) = \frac{104}{216}$

Сократим дробь:

$\cos(\angle AMC) = \frac{13}{27}$

Так как значение косинуса положительное ($\frac{13}{27} > 0$), угол $\angle AMC$ является острым. Если бы $\cos(\angle AMC)$ был отрицательным, то угол $\angle AMC$ был бы тупым, и острым углом между хордами был бы смежный с ним угол (например, $\angle AMD$), косинус которого был бы равен $|\cos(\angle AMC)|$.

Следовательно, острый угол между хордами равен $\arccos(\frac{13}{27})$.

Ответ: $\arccos(\frac{13}{27})$

273. На радиусе окружности, равном 2,6 см, отмечена точка C, отстоящая от ее центра на расстоянии 1 см. Через точку C проведена хорда $AB$, равная 5 см. Найдите отрезки $AC$ и $CB$.

Дано:

Радиус окружности $R = 2.6 \text{ см}$

Расстояние от центра до точки $C$: $OC = 1 \text{ см}$

Длина хорды $AB = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Радиус окружности $R = 2.6 \text{ см} = 0.026 \text{ м}$

Расстояние от центра до точки $C$: $OC = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Длина хорды $AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длины отрезков $AC$ и $CB$.

Решение:

Пусть $O$ - центр окружности. Точка $C$ находится на расстоянии $OC = 1 \text{ см}$ от центра. Через точку $C$ проведена хорда $AB$ длиной $5 \text{ см}$. Нам необходимо найти длины отрезков $AC$ и $CB$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности. Если через точку $C$, лежащую внутри окружности, проведены две хорды $AB$ и $PQ$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, т.е. $AC \cdot CB = PC \cdot CQ$.

В нашем случае, одной из хорд является $AB$. В качестве второй хорды рассмотрим диаметр, который проходит через точку $C$ и центр окружности $O$. Пусть этот диаметр пересекает окружность в точках $P$ и $Q$.

Тогда отрезки диаметра $PQ$, образованные точкой $C$, будут иметь следующие длины:

$PC = R - OC$ (это расстояние от точки $C$ до ближайшей точки на окружности вдоль диаметра, проходящего через $C$ и $O$).

$CQ = R + OC$ (это расстояние от точки $C$ до дальней точки на окружности вдоль того же диаметра).

Подставим известные значения: радиус окружности $R = 2.6 \text{ см}$ и расстояние $OC = 1 \text{ см}$.

$PC = 2.6 \text{ см} - 1 \text{ см} = 1.6 \text{ см}$

$CQ = 2.6 \text{ см} + 1 \text{ см} = 3.6 \text{ см}$

Согласно теореме о степени точки, произведение отрезков хорды $AB$ равно произведению отрезков диаметра $PQ$:

$AC \cdot CB = PC \cdot CQ$

$AC \cdot CB = (R - OC)(R + OC)$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$AC \cdot CB = R^2 - OC^2$

Подставляем числовые значения:

$AC \cdot CB = (2.6)^2 - (1)^2$

$AC \cdot CB = 6.76 - 1$

$AC \cdot CB = 5.76 \text{ см}^2$

Пусть длина отрезка $AC$ равна $x$, а длина отрезка $CB$ равна $y$. Известно, что длина всей хорды $AB = AC + CB = 5 \text{ см}$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$x + y = 5 \quad (1)$

$x \cdot y = 5.76 \quad (2)$

Из уравнения (1) выразим $y$ через $x$: $y = 5 - x$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$x(5 - x) = 5.76$

$5x - x^2 = 5.76$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5x + 5.76 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.

В данном уравнении $a=1$, $b=-5$, $c=5.76$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5.76$

$D = 25 - 23.04$

$D = 1.96$

Теперь найдем корни $x$:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{1.96}}{2 \cdot 1}$

Корень из $1.96$ равен $1.4$ ($\sqrt{1.96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{14}{10} = 1.4$).

$x = \frac{5 \pm 1.4}{2}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{5 + 1.4}{2} = \frac{6.4}{2} = 3.2 \text{ см}$

$x_2 = \frac{5 - 1.4}{2} = \frac{3.6}{2} = 1.8 \text{ см}$

Если $AC = 3.2 \text{ см}$, то $CB = 5 - 3.2 = 1.8 \text{ см}$.

Если $AC = 1.8 \text{ см}$, то $CB = 5 - 1.8 = 3.2 \text{ см}$.

Таким образом, длины отрезков $AC$ и $CB$ составляют $3.2 \text{ см}$ и $1.8 \text{ см}$.

Ответ:

Длины отрезков $AC$ и $CB$ равны $3.2 \text{ см}$ и $1.8 \text{ см}$.

274. Из точки $A$, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная $AB$ ($B$ – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$ ($C$ лежит между $A$ и $D$). Известно, что $AB = 16$ см, $AD = 32$ см, а расстояние от центра окружности до секущей равно $5$ см. Найдите радиус окружности.

Дано:

Длина касательной $AB = 16 \text{ см}$

Длина секущей от внешней точки до дальней точки пересечения $AD = 32 \text{ см}$

Расстояние от центра окружности до секущей $OM = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AB = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$AD = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$

$OM = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности $R$.

Решение:

Применение теоремы о касательной и секущей

По теореме о касательной и секущей, квадрат длины касательной, проведенной из внешней точки к окружности, равен произведению длины всей секущей, проведенной из той же точки, на ее внешнюю часть.

В данном случае: $AB^2 = AC \cdot AD$

Подставим известные значения:

$(16 \text{ см})^2 = AC \cdot (32 \text{ см})$

$256 \text{ см}^2 = AC \cdot 32 \text{ см}$

Вычислим $AC$:

$AC = \frac{256}{32} \text{ см}$

$AC = 8 \text{ см}$

Ответ: $AC = 8 \text{ см}$

Нахождение длины хорды CD

Точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Следовательно, длина отрезка $CD$ равна разности длин отрезков $AD$ и $AC$.

$CD = AD - AC$

$CD = 32 \text{ см} - 8 \text{ см}$

$CD = 24 \text{ см}$

Ответ: $CD = 24 \text{ см}$

Использование свойства хорды

Пусть $O$ - центр окружности. Расстояние от центра окружности до секущей $AD$ (которая содержит хорду $CD$) равно $OM = 5 \text{ см}$, где $M$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из $O$ на $CD$.

Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.

Следовательно, $M$ является серединой хорды $CD$.

$MD = \frac{CD}{2}$

$MD = \frac{24 \text{ см}}{2}$

$MD = 12 \text{ см}$

Ответ: $MD = 12 \text{ см}$

Нахождение радиуса окружности

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMD$. Катеты этого треугольника - $OM$ (расстояние от центра до хорды) и $MD$ (половина длины хорды). Гипотенуза $OD$ является радиусом окружности ($R$).

По теореме Пифагора:

$OD^2 = OM^2 + MD^2$

$R^2 = (5 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$R^2 = 25 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$R^2 = 169 \text{ см}^2$

$R = \sqrt{169 \text{ см}^2}$

$R = 13 \text{ см}$

Ответ: $R = 13 \text{ см}$

Окончательный ответ: радиус окружности равен $13 \text{ см}$.

275. Из точки B, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная BM ($M$ - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D ($C$ лежит между $B$ и $D$). Известно, что $BD = 12$ см, $BM = \frac{2}{3} \cdot CD$. Найдите длину отрезка BM.

Дано:

Из точки B, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная BM и секущая BD.

M – точка касания.

Секущая пересекает окружность в точках C и D.

C лежит между B и D.

$BD = 12 \text{ см}$

$BM = \frac{2}{3} \cdot CD$

Перевод в СИ:

$BD = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$BM$

Решение:

Согласно теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению длины всей секущей на длину ее внешней части. В нашем случае это выражается формулой: $BM^2 = BC \cdot BD$.

Так как точка C лежит между точками B и D, длина отрезка BD может быть представлена как сумма длин отрезков BC и CD: $BD = BC + CD$.

Отсюда выразим длину отрезка BC: $BC = BD - CD$.

Подставим это выражение для BC в основное соотношение: $BM^2 = (BD - CD) \cdot BD$.

Нам даны значения: $BD = 12 \text{ см}$ и $BM = \frac{2}{3} \cdot CD$.

Выразим $CD$ через $BM$ из второго равенства: $CD = \frac{3}{2} \cdot BM$.

Теперь подставим значение $BD$ и выражение для $CD$ в формулу для $BM^2$:

$BM^2 = (12 - \frac{3}{2} BM) \cdot 12$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$BM^2 = 12 \cdot 12 - 12 \cdot \frac{3}{2} BM$

$BM^2 = 144 - 18 BM$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$BM^2 + 18 BM - 144 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $BM$. Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $x = BM$, $a = 1$, $b = 18$, $c = -144$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144)$

$D = 324 + 576$

$D = 900$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдем два возможных значения для $BM$:

$BM_1 = \frac{-18 + 30}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$BM_2 = \frac{-18 - 30}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, принимаем положительное значение.

$BM = 6 \text{ см}$.

Проверим: Если $BM = 6 \text{ см}$, то $CD = \frac{3}{2} BM = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9 \text{ см}$.

Тогда $BC = BD - CD = 12 - 9 = 3 \text{ см}$.

И $BM^2 = 6^2 = 36$.

$BC \cdot BD = 3 \cdot 12 = 36$.

Равенство $36 = 36$ подтверждает правильность решения.

Ответ:

$6 \text{ см}$

276. a) Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ см и $12$ см. Найдите длину биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.
б) Найдите длину биссектрисы $CD$ треугольника $ABC$, если $AC = 7$ см, $CB = 9$ см и $AD = CD$.

a) Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 12 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$, с прямым углом при вершине $C$.

Катеты: $AC = 6$ см, $BC = 12$ см.

$CL$ - биссектриса угла $C$.

Перевод в СИ:

$AC = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$BC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Длину биссектрисы $CL$.

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$. Длины катетов $AC = 6$ см и $BC = 12$ см. $CL$ - биссектриса угла $C$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ с помощью теоремы Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$

$AB = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

2. По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса $CL$ делит противоположную сторону $AB$ на отрезки $AL$ и $LB$, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Пусть $AL = x$, тогда $LB = 2x$. Сумма этих отрезков равна длине гипотенузы $AB$:

$AL + LB = AB \Rightarrow x + 2x = 6\sqrt{5}$

$3x = 6\sqrt{5} \Rightarrow x = 2\sqrt{5}$ см.

Таким образом, $AL = 2\sqrt{5}$ см и $LB = 4\sqrt{5}$ см.

3. Воспользуемся формулой для длины биссектрисы, проведенной из вершины угла $C$: $l_c^2 = ab - AL \cdot LB$. Здесь $a = BC$, $b = AC$.

$CL^2 = AC \cdot BC - AL \cdot LB$

$CL^2 = 6 \cdot 12 - (2\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{5})$

$CL^2 = 72 - (8 \cdot 5)$

$CL^2 = 72 - 40$

$CL^2 = 32$

$CL = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

б) Найдите длину биссектрисы CD треугольника ABC, если AC = 7 см, CB = 9 см и AD = CD.

Дано:

Треугольник $ABC$.

$CD$ - биссектриса угла $C$.

$AC = 7$ см.

$CB = 9$ см.

$AD = CD$.

Перевод в СИ:

$AC = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

$CB = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Длину биссектрисы $CD$.

Решение:

Пусть $CD = x$. По условию задачи $AD = CD$, следовательно $AD = x$.

1. Применим свойство биссектрисы угла треугольника к биссектрисе $CD$ в $\triangle ABC$. Биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$, пропорциональные прилежащим сторонам $AC$ и $CB$:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}$

Подставим известные значения:

$\frac{x}{DB} = \frac{7}{9}$

Выразим $DB$ через $x$:

$DB = \frac{9x}{7}$

2. Воспользуемся формулой для длины биссектрисы $l_c$ из вершины $C$ на сторону $AB$:

$l_c^2 = AC \cdot CB - AD \cdot DB$

Подставим $l_c = CD = x$, $AD = x$, $AC = 7$, $CB = 9$, $DB = \frac{9x}{7}$:

$x^2 = 7 \cdot 9 - x \cdot \frac{9x}{7}$

$x^2 = 63 - \frac{9x^2}{7}$

3. Решим полученное уравнение относительно $x$. Умножим все члены на 7, чтобы избавиться от дроби:

$7x^2 = 63 \cdot 7 - 9x^2$

$7x^2 = 441 - 9x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:

$7x^2 + 9x^2 = 441$

$16x^2 = 441$

$x^2 = \frac{441}{16}$

$x = \sqrt{\frac{441}{16}}$

$x = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{16}} = \frac{21}{4}$

Таким образом, длина биссектрисы $CD$ равна $\frac{21}{4}$ см.

Ответ: $\frac{21}{4}$ см.

277. Через точку M, лежащую вне окружности, проведены к ней две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках A и B, а другая – в точках C и D. Докажите, что $MA \cdot MB = MC \cdot MD$.

Дано: Точка $M$ лежит вне окружности. Из точки $M$ проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках $A$ и $B$, а другая – в точках $C$ и $D$.

Найти: Доказать, что $MA \cdot MB = MC \cdot MD$.

Решение

Рассмотрим два треугольника: $\triangle MAC$ и $\triangle MDB$.

1. Угол $M$ является общим для обоих треугольников, то есть $\angle AMC = \angle DMB$.

2. Углы $\angle CAB$ и $\angle CDB$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$. Следовательно, эти углы равны: $\angle CAB = \angle CDB$. Эти углы также могут быть обозначены как $\angle MAC$ и $\angle MDB$ соответственно, поскольку точки $A, B, M$ лежат на одной прямой и точки $C, D, M$ лежат на одной прямой.

Таким образом, в $\triangle MAC$ и $\triangle MDB$ есть два равных угла: $\angle M$ (общий) и $\angle MAC = \angle MDB$.

Отсюда следует, что треугольники $\triangle MAC$ и $\triangle MDB$ подобны по двум углам (признак подобия AA): $\triangle MAC \sim \triangle MDB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{MA}{MD} = \frac{MC}{MB}$

Перемножим крест-на-крест:

$MA \cdot MB = MC \cdot MD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.