Номер 263, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

263. а) Точки $A, B, C$ лежат на окружности. Найдите $\angle ABC$, если хорда $AC$ равна радиусу окружности.

б) Точки $A, B, C$ и $D$ лежат на окружности. Чему равен $\angle ADC$, если $\angle ABC = 60^{\circ}$?

a)

Дано:

Точки A, B, C лежат на окружности.

Хорда AC равна радиусу окружности: $AC = R$.

Найти:

Угол $\angle ABC$.

Решение:

Пусть $O$ — центр окружности. Так как точки $A$ и $C$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности. Следовательно, $OA = OC = R$.

По условию задачи, хорда $AC$ равна радиусу окружности, то есть $AC = R$.

Таким образом, все стороны треугольника $AOC$ равны радиусу: $OA = OC = AC = R$.

Следовательно, треугольник $AOC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Поэтому центральный угол $\angle AOC = 60^\circ$.

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на дугу $AC$.

Центральный угол $\angle AOC$ также опирается на ту же дугу $AC$.

По свойству вписанного угла, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Это выражается формулой:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$

Подставляя значение центрального угла, получаем:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

б)

Дано:

Точки A, B, C, D лежат на окружности.

Угол $\angle ABC = 60^\circ$.

Найти:

Угол $\angle ADC$.

Решение:

Поскольку все четыре вершины A, B, C, D лежат на окружности, четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

Углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются противоположными углами в четырехугольнике $ABCD$.

Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

Подставляем данное значение $\angle ABC = 60^\circ$ в уравнение:

$60^\circ + \angle ADC = 180^\circ$

Чтобы найти $\angle ADC$, вычтем $60^\circ$ из $180^\circ$:

$\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$