Номер 287, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

287. Найдите диагонали и площадь ромба с углом $35^\circ$ и стороной 7,5 см.

Дано:

Сторона ромба $a = 7.5 \text{ см}$
Угол ромба $\alpha = 35^\circ$

Перевод в систему СИ:
$a = 7.5 \text{ см} = 0.075 \text{ м}$
$\alpha = 35^\circ$ (градусы не переводятся в СИ, для вычислений используются как есть)

Найти:

Диагонали ромба $d_1, d_2$
Площадь ромба $S$

Решение:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Пусть диагонали ромба $d_1$ и $d_2$. Меньшая диагональ лежит напротив меньшего угла, большая — напротив большего. Угол $35^\circ$ является острым углом ромба. Тогда половина меньшего угла ромба будет $\frac{\alpha}{2} = \frac{35^\circ}{2} = 17.5^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, можно выразить половины диагоналей: $\frac{d_1}{2} = a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$
$\frac{d_2}{2} = a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$

Диагонали

Используя формулы для диагоналей: $d_1 = 2a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$
$d_2 = 2a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ Подставим значения $a = 7.5 \text{ см}$ и $\frac{\alpha}{2} = 17.5^\circ$: $d_1 = 2 \cdot 7.5 \cdot \sin(17.5^\circ) = 15 \cdot \sin(17.5^\circ)$
$d_1 \approx 15 \cdot 0.30070583 \approx 4.51058745 \text{ см}$ $d_2 = 2 \cdot 7.5 \cdot \cos(17.5^\circ) = 15 \cdot \cos(17.5^\circ)$
$d_2 \approx 15 \cdot 0.95371695 \approx 14.30575425 \text{ см}$

Ответ: $d_1 \approx 4.51 \text{ см}$, $d_2 \approx 14.31 \text{ см}$

Площадь ромба

Площадь ромба может быть найдена по формуле $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — один из его углов. Подставим значения $a = 7.5 \text{ см}$ и $\alpha = 35^\circ$: $S = (7.5)^2 \cdot \sin(35^\circ)$
$S = 56.25 \cdot \sin(35^\circ)$
$S \approx 56.25 \cdot 0.57357644 \approx 32.26367475 \text{ см}^2$

Ответ: $S \approx 32.264 \text{ см}^2$