Страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

248. a) В треугольнике $PKH$ $\angle K = 100^\circ$, $PK = 6 \text{ дм}$, $KH = 5 \text{ дм}$. Найдите длину медианы $HM$ и площадь треугольника $PMH$.

б) В равнобедренном треугольнике к боковой стороне длиной $10 \text{ см}$ проведена медиана, равная $9 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника с точностью до $0,1 \text{ см}^2$.

а)

Дано:
Треугольник $PKH$.
$\angle K = 100^\circ$
$PK = 6$ дм
$KH = 5$ дм
$HM$ - медиана

Перевод в СИ:
$PK = 6$ дм $ = 0.6$ м
$KH = 5$ дм $ = 0.5$ м

Найти:
Длину медианы $HM$
Площадь треугольника $PMH$ ($S_{PMH}$)

Решение:
1. Найдем длину медианы $HM$.
Медиана $HM$ проведена к стороне $PK$, поэтому точка $M$ является серединой стороны $PK$.
Следовательно, $KM = \frac{PK}{2} = \frac{6}{2} = 3$ дм.
Рассмотрим треугольник $KHM$. Известны стороны $KH = 5$ дм, $KM = 3$ дм и угол $\angle K = 100^\circ$.
Применим теорему косинусов для нахождения стороны $HM$ в треугольнике $KHM$:
$HM^2 = KH^2 + KM^2 - 2 \cdot KH \cdot KM \cdot \cos(\angle K)$
$HM^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(100^\circ)$
$HM^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \cos(100^\circ)$
Используем значение $\cos(100^\circ) \approx -0.17365$:
$HM^2 = 34 - 30 \cdot (-0.17365) = 34 + 5.2095 = 39.2095$
$HM = \sqrt{39.2095} \approx 6.2617$ дм.
Округляем до двух знаков после запятой: $HM \approx 6.26$ дм.

2. Найдем площадь треугольника $PMH$.
Сначала найдем площадь треугольника $PKH$ по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{PKH} = \frac{1}{2} \cdot PK \cdot KH \cdot \sin(\angle K)$
$S_{PKH} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin(100^\circ)$
Используем значение $\sin(100^\circ) \approx 0.98481$:
$S_{PKH} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 0.98481 = 15 \cdot 0.98481 = 14.77215$ дм$^2$.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то есть $S_{PMH} = S_{KHM}$.
Таким образом, $S_{PMH} = \frac{1}{2} S_{PKH}$.
$S_{PMH} = \frac{1}{2} \cdot 14.77215 = 7.386075$ дм$^2$.
Округляем до одного знака после запятой: $S_{PMH} \approx 7.4$ дм$^2$.

Ответ: Длина медианы $HM \approx 6.26$ дм, площадь треугольника $PMH \approx 7.4$ дм$^2$.

б)

Дано:
Равнобедренный треугольник $ABC$.
Боковые стороны: $AB = AC = 10$ см.
Медиана $BD$ проведена к стороне $AC$.
Длина медианы $BD = 9$ см.

Перевод в СИ:
$AB = AC = 10$ см $ = 0.1$ м
$BD = 9$ см $ = 0.09$ м

Найти:
Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) с точностью до 0,1 см$^2$.

Решение:
1. Найдем косинус угла при вершине $A$ равнобедренного треугольника $ABC$.
Медиана $BD$ проведена к стороне $AC$. Так как $D$ - середина $AC$, то $AD = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Рассмотрим треугольник $ABD$. Известны стороны $AB = 10$ см, $AD = 5$ см и медиана $BD = 9$ см.
Применим теорему косинусов для стороны $BD$ в треугольнике $ABD$ для нахождения $\cos(\angle A)$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
$9^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos(\angle A)$
$81 = 100 + 25 - 100 \cdot \cos(\angle A)$
$81 = 125 - 100 \cdot \cos(\angle A)$
$100 \cdot \cos(\angle A) = 125 - 81$
$100 \cdot \cos(\angle A) = 44$
$\cos(\angle A) = \frac{44}{100} = 0.44$.

2. Найдем синус угла $\angle A$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\angle A) + \cos^2(\angle A) = 1$:
$\sin(\angle A) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle A)}$
$\sin(\angle A) = \sqrt{1 - (0.44)^2} = \sqrt{1 - 0.1936} = \sqrt{0.8064}$
$\sin(\angle A) \approx 0.8980$.

3. Найдем площадь треугольника $ABC$.
Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(\angle A)$
$S_{ABC} = 50 \cdot \sin(\angle A)$
$S_{ABC} = 50 \cdot 0.8980 = 44.90$ см$^2$.
Округляем до точности 0,1 см$^2$: $S_{ABC} \approx 44.9$ см$^2$.

Ответ: Площадь треугольника $\approx 44.9$ см$^2$.

249. а) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно $(\sqrt{5} - 1)$ см, а угол при вершине равен $36^\circ$.

б) Найдите стороны параллелограмма ABCD, если его диагональ BD, равная $10$ см, делит угол B на части в $48^\circ$ и $72^\circ$.

а) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно $(\sqrt{5} - 1)$ см, а угол при вершине равен $36^\circ$.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.
Основание $AC = a = (\sqrt{5} - 1)$ см.
Угол при вершине $\angle B = 36^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = (\sqrt{5} - 1) \text{ см} = (\sqrt{5} - 1) \cdot 10^{-2} \text{ м}$.
$\angle B = 36^\circ = \frac{\pi}{5} \text{ рад}$.

Найти:

Боковую сторону $b = AB = BC$.

Решение:

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника $ABC$ равна $b$. Угол при вершине $\angle B = 36^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$.
Применим теорему синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$.
Подставим известные значения: $\frac{(\sqrt{5} - 1)}{\sin(36^\circ)} = \frac{b}{\sin(72^\circ)}$.
Выразим боковую сторону $b$: $b = (\sqrt{5} - 1) \frac{\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}$.
Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.
Тогда $\sin(72^\circ) = \sin(2 \cdot 36^\circ) = 2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ)$.
Подставим это в выражение для $b$: $b = (\sqrt{5} - 1) \frac{2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ)} = (\sqrt{5} - 1) \cdot 2 \cos(36^\circ)$.
Известно, что $\cos(36^\circ) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
Подставим это значение: $b = (\sqrt{5} - 1) \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{4} = (\sqrt{5} - 1) \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$: $b = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $2$ см.

б) Найдите стороны параллелограмма $ABCD$, если его диагональ $BD$, равная 10 см, делит угол $B$ на части в $48^\circ$ и $72^\circ$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.
Диагональ $BD = 10$ см.
$\angle ABD = 48^\circ$.
$\angle DBC = 72^\circ$.

Перевод в СИ:

$BD = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.
$\angle ABD = 48^\circ = \frac{48\pi}{180} \text{ рад} = \frac{4\pi}{15} \text{ рад}$.
$\angle DBC = 72^\circ = \frac{72\pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{5} \text{ рад}$.

Найти:

Стороны $AB$ и $BC$ (или $CD$ и $AD$).

Решение:

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $BD$ является секущей. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle ADB = \angle DBC = 72^\circ$.
В треугольнике $ABD$ известны два угла и одна сторона: $\angle ABD = 48^\circ$.
$\angle ADB = 72^\circ$.
$BD = 10$ см.
Найдем третий угол треугольника $ABD$: $\angle BAD = 180^\circ - \angle ABD - \angle ADB = 180^\circ - 48^\circ - 72^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Применим теорему синусов для треугольника $ABD$: $\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$.
Подставим известные значения: $\frac{AB}{\sin(72^\circ)} = \frac{AD}{\sin(48^\circ)} = \frac{10}{\sin(60^\circ)}$.
Найдем сторону $AB$: $AB = \frac{10 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(60^\circ)}$.
Известно, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$AB = \frac{10 \cdot \sin(72^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20 \cdot \sin(72^\circ)}{\sqrt{3}}$.
Используя приближенное значение $\sin(72^\circ) \approx 0.9510565$:
$AB \approx \frac{20 \cdot 0.9510565}{1.7320508} \approx \frac{19.02113}{1.7320508} \approx 10.98188 \text{ см}$.
Найдем сторону $AD$: $AD = \frac{10 \cdot \sin(48^\circ)}{\sin(60^\circ)}$.
$AD = \frac{10 \cdot \sin(48^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20 \cdot \sin(48^\circ)}{\sqrt{3}}$.
Используя приближенное значение $\sin(48^\circ) \approx 0.7431448$:
$AD \approx \frac{20 \cdot 0.7431448}{1.7320508} \approx \frac{14.862896}{1.7320508} \approx 8.58005 \text{ см}$.
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB$ и $BC = AD$. Таким образом, стороны параллелограмма $AB \approx 10.98$ см и $BC \approx 8.58$ см.

Ответ: Стороны параллелограмма примерно равны $10.98$ см и $8.58$ см.

уровень В

250. Найдите площадь параллелограмма, одна сторона которого равна 51 см, а диагонали – 40 см и 74 см. (Ответ округлите до десятков квадратных сантиметров.)

Дано:

Одна сторона параллелограмма: $a = 51$ см.
Диагонали параллелограмма: $d_1 = 40$ см, $d_2 = 74$ см.

Перевод в СИ:

$a = 51 \cdot 10^{-2}$ м.
$d_1 = 40 \cdot 10^{-2}$ м.
$d_2 = 74 \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь параллелограмма $S$.

Решение:

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, а диагонали как $d_1$ и $d_2$.Используем свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.Это выражается формулой: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.Подставим известные значения:$(40)^2 + (74)^2 = 2((51)^2 + b^2)$
$1600 + 5476 = 2(2601 + b^2)$
$7076 = 5202 + 2b^2$
$2b^2 = 7076 - 5202$
$2b^2 = 1874$
$b^2 = \frac{1874}{2}$
$b^2 = 937$
$b = \sqrt{937}$ см.

Теперь у нас есть обе стороны параллелограмма: $a = 51$ см и $b = \sqrt{937}$ см.Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = ab \sin \gamma$, где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.Рассмотрим треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_1$. По теореме косинусов для этого треугольника:$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$40^2 = 51^2 + (\sqrt{937})^2 - 2 \cdot 51 \cdot \sqrt{937} \cos \gamma$
$1600 = 2601 + 937 - 102\sqrt{937} \cos \gamma$
$1600 = 3538 - 102\sqrt{937} \cos \gamma$
$102\sqrt{937} \cos \gamma = 3538 - 1600$
$102\sqrt{937} \cos \gamma = 1938$
$\cos \gamma = \frac{1938}{102\sqrt{937}}$
$\cos \gamma = \frac{19}{\sqrt{937}}$

Теперь найдем $\sin \gamma$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$:$\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma$
$\sin^2 \gamma = 1 - \left(\frac{19}{\sqrt{937}}\right)^2$
$\sin^2 \gamma = 1 - \frac{19^2}{937}$
$\sin^2 \gamma = 1 - \frac{361}{937}$
$\sin^2 \gamma = \frac{937 - 361}{937}$
$\sin^2 \gamma = \frac{576}{937}$
$\sin \gamma = \sqrt{\frac{576}{937}}$ (поскольку угол параллелограмма $\gamma \in (0, \pi)$, $\sin \gamma > 0$)
$\sin \gamma = \frac{24}{\sqrt{937}}$

Теперь вычислим площадь параллелограмма:$S = ab \sin \gamma$
$S = 51 \cdot \sqrt{937} \cdot \frac{24}{\sqrt{937}}$
$S = 51 \cdot 24$
$S = 1224$ см$^2$.

Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятков квадратных сантиметров.1224 округляется до 1220.

Ответ:

Площадь параллелограмма $S = 1220$ см$^2$.

251. Острый угол ромба равен $80^\circ$, а его большая диагональ равна 12 см. Найдите площадь ромба с точностью до $0,1 \text{ см}^2$.

Дано:

Острый угол ромба $\alpha = 80^\circ$

Большая диагональ $D = 12$ см

Перевод в СИ:

Острый угол ромба $\alpha = 80^\circ = \frac{80 \cdot \pi}{180}$ рад $= \frac{4\pi}{9}$ рад

Большая диагональ $D = 12$ см $= 0.12$ м

Найти:

Площадь ромба $S$

Решение:

Пусть ромб обозначается $ABCD$, а его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию, острый угол ромба $\alpha = \angle A = 80^\circ$. Большая диагональ $AC = D = 12$ см. Поскольку большая диагональ ромба соединяет вершины острых углов, $AC$ является этой диагональю.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Точка $O$ является серединой каждой диагонали.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Угол $\angle AOB = 90^\circ$.

Длина отрезка $AO$ равна половине длины большой диагонали $AC$: $AO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Угол $\angle OAB$ равен половине острого угла ромба: $\angle OAB = \frac{\alpha}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$.

Пусть $BD$ — короткая диагональ ромба. Длина отрезка $BO$ является половиной длины короткой диагонали: $BO = \frac{BD}{2}$.

Для нахождения длины отрезка $BO$ используем тригонометрическое соотношение тангенса в прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$:

$\tan(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BO}{AO}$

Подставляем известные значения:

$\tan(40^\circ) = \frac{BO}{6}$

Отсюда выразим $BO$:

$BO = 6 \cdot \tan(40^\circ)$ см.

Длина короткой диагонали $BD$ равна $2 \cdot BO$:

$BD = 2 \cdot (6 \cdot \tan(40^\circ)) = 12 \cdot \tan(40^\circ)$ см.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей.

В нашем случае $d_1 = AC = 12$ см и $d_2 = BD = 12 \cdot \tan(40^\circ)$ см.

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (12 \cdot \tan(40^\circ))$

$S = 6 \cdot 12 \cdot \tan(40^\circ)$

$S = 72 \cdot \tan(40^\circ)$

Используя значение $\tan(40^\circ) \approx 0.8390996$, рассчитаем площадь:

$S \approx 72 \cdot 0.8390996 \approx 60.4151712$ см$^2$.

Округляем результат до 0,1 см$^2$, как того требует условие задачи:

$S \approx 60.4$ см$^2$.

Ответ:

$60.4$ см$^2$.

252. Постройте равнобедренный треугольник, измерьте его стороны. Найдите с точностью до 0,1 косинус угла при его вершине и синус угла при основании.

Для решения задачи, требующей построения и измерения, мы будем использовать условные значения сторон равнобедренного треугольника, так как физическое построение невозможно. Предполагаем, что измерения были выполнены с необходимой точностью.

Дано:

Равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и основанием $b$.

Пусть в результате измерения получены следующие значения:

$a = 5 \text{ см}$

$b = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Косинус угла при вершине ($\cos \alpha$) с точностью до 0,1.

Синус угла при основании ($\sin \beta$) с точностью до 0,1.

Решение:

косинус угла при его вершине

Для нахождения косинуса угла при вершине ($\alpha$) равнобедренного треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Если боковые стороны равны $a$, а основание $b$, то:

$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos \alpha$

$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos \alpha$

Выразим $\cos \alpha$ из уравнения:

$2a^2 \cos \alpha = 2a^2 - b^2$

$\cos \alpha = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2} = 1 - \frac{b^2}{2a^2}$

Подставим условные значения $a = 5 \text{ см}$ и $b = 6 \text{ см}$:

$\cos \alpha = 1 - \frac{6^2}{2 \cdot 5^2} = 1 - \frac{36}{2 \cdot 25} = 1 - \frac{36}{50} = 1 - 0.72 = 0.28$

Округлим полученное значение до точности 0,1:

$\cos \alpha \approx 0.3$

Ответ:

Ответ: $0.3$

синус угла при основании

Для нахождения синуса угла при основании ($\beta$) опустим высоту $h$ из вершины на основание. В равнобедренном треугольнике эта высота является медианой, поэтому она делит основание пополам ($b/2$) и образует два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его катеты равны $h$ и $b/2$, а гипотенуза равна $a$.

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $h$:

$h^2 + (b/2)^2 = a^2$

$h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2}$

Подставим условные значения $a = 5 \text{ см}$ и $b = 6 \text{ см}$:

$h = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$

Теперь найдем синус угла $\beta$ (угла при основании) как отношение противолежащего катета (высоты $h$) к гипотенузе ($a$) в прямоугольном треугольнике:

$\sin \beta = \frac{h}{a}$

$\sin \beta = \frac{4}{5} = 0.8$

Значение $0.8$ уже соответствует требуемой точности до 0.1.

Ответ:

Ответ: $0.8$

253. a) В прямоугольном $\Delta ABC$ $\angle A = 15^\circ$, $AC = \sqrt{3}$ дм. Из вершины прямого угла C проведена биссектриса $CL$. Найдите отрезок $AL$.

б) В $\Delta ABC$ $\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, $AC = 6$ см. Найдите с точностью до 0,1 см его биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$.

а)

Дано:

$ \triangle ABC $ - прямоугольный, $ \angle C = 90^\circ $

$ \angle A = 15^\circ $

$ AC = \sqrt{3} $ дм

$ CL $ - биссектриса $ \angle C $

Перевод в СИ:

$ AC = \sqrt{3} \cdot 0.1 $ м

Найти:

$ AL $

Решение:

1. В прямоугольном $ \triangle ABC $ сумма острых углов равна $ 90^\circ $. Следовательно, $ \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ $.

2. Поскольку $ CL $ является биссектрисой прямого угла $ C $, она делит его на два равных угла: $ \angle ACL = \angle BCL = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

3. Рассмотрим треугольник $ \triangle ACL $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $. Зная углы $ \angle A = 15^\circ $ и $ \angle ACL = 45^\circ $, найдем третий угол $ \angle ALC $:

$ \angle ALC = 180^\circ - \angle A - \angle ACL = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ $.

4. Применим теорему синусов к треугольнику $ \triangle ACL $:

$ \frac{AL}{\sin(\angle ACL)} = \frac{AC}{\sin(\angle ALC)} $

Выразим отрезок $ AL $:

$ AL = AC \cdot \frac{\sin(\angle ACL)}{\sin(\angle ALC)} $

5. Подставим известные значения углов и длины $ AC $:

$ AL = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(120^\circ)} $

6. Известные значения синусов:

$ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

7. Подставим эти значения в выражение для $ AL $:

$ AL = \sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} $ дм.

Ответ: $ AL = \sqrt{2} $ дм.

б)

Дано:

$ \triangle ABC $

$ \angle A = 60^\circ $

$ \angle C = 30^\circ $

$ AC = 6 $ см

$ AA_1 $ - биссектриса $ \angle A $

$ BB_1 $ - биссектриса $ \angle B $

Перевод в СИ:

$ AC = 0.06 $ м

Найти:

$ AA_1 $, $ BB_1 $ с точностью до 0.1 см.

Решение:

1. Найдем величину угла $ \angle B $ в треугольнике $ \triangle ABC $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $:

$ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ $.

Таким образом, $ \triangle ABC $ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $ B $.

Нахождение $ AA_1 $:

2. $ AA_1 $ является биссектрисой угла $ \angle A $. Следовательно, $ \angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $.

3. Рассмотрим треугольник $ \triangle ACA_1 $. Известны две стороны и два угла: $ AC = 6 $ см, $ \angle C = 30^\circ $ и $ \angle CAA_1 = 30^\circ $.

4. Поскольку $ \angle C = \angle CAA_1 = 30^\circ $, треугольник $ \triangle ACA_1 $ является равнобедренным, и сторона $ AA_1 $ равна стороне $ CA_1 $.

5. Найдем третий угол $ \angle AA_1C $ в треугольнике $ \triangle ACA_1 $:

$ \angle AA_1C = 180^\circ - \angle C - \angle CAA_1 = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ $.

6. Применим теорему синусов к треугольнику $ \triangle ACA_1 $:

$ \frac{AA_1}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle AA_1C)} $

Выразим $ AA_1 $:

$ AA_1 = AC \cdot \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle AA_1C)} = 6 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} $

7. Известные значения синусов:

$ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $

$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

8. Подставим эти значения в выражение для $ AA_1 $:

$ AA_1 = 6 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $ см.

9. Вычислим значение с точностью до 0.1 см:

$ AA_1 \approx 2 \cdot 1.73205 = 3.4641 $ см.

Округляем до 0.1 см: $ AA_1 \approx 3.5 $ см.

Нахождение $ BB_1 $:

10. $ BB_1 $ является биссектрисой угла $ \angle B $. Поскольку $ \angle B = 90^\circ $, то $ \angle ABB_1 = \angle CBB_1 = \frac{\angle B}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

11. В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABC $, найдем длину стороны $ AB $. Мы можем использовать косинус угла $ A $:

$ AB = AC \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

12. Рассмотрим треугольник $ \triangle ABB_1 $. Известны сторона $ AB = 3 $ см, угол $ \angle A = 60^\circ $ и угол $ \angle ABB_1 = 45^\circ $.

13. Найдем третий угол $ \angle AB_1B $ в треугольнике $ \triangle ABB_1 $:

$ \angle AB_1B = 180^\circ - \angle A - \angle ABB_1 = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ $.

14. Применим теорему синусов к треугольнику $ \triangle ABB_1 $:

$ \frac{BB_1}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle AB_1B)} $

Выразим $ BB_1 $:

$ BB_1 = AB \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle AB_1B)} = 3 \cdot \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(75^\circ)} $

15. Известные значения синусов:

$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) $

$ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

16. Подставим эти значения в выражение для $ BB_1 $:

$ BB_1 = 3 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 3 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $

17. Для упрощения выражения и удаления иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{6} - \sqrt{2}) $:

$ BB_1 = \frac{6\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{6} - 6\sqrt{3}\sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6\sqrt{18} - 6\sqrt{6}}{6 - 2} $

$ = \frac{6 \cdot 3\sqrt{2} - 6\sqrt{6}}{4} = \frac{18\sqrt{2} - 6\sqrt{6}}{4} = \frac{9\sqrt{2} - 3\sqrt{6}}{2} $ см.

18. Вычислим значение с точностью до 0.1 см:

$ \sqrt{2} \approx 1.41421 $

$ \sqrt{6} \approx 2.44949 $

$ BB_1 \approx \frac{9 \cdot 1.41421 - 3 \cdot 2.44949}{2} = \frac{12.72789 - 7.34847}{2} = \frac{5.37942}{2} = 2.68971 $ см.

Округляем до 0.1 см: $ BB_1 \approx 2.7 $ см.

Ответ: $ AA_1 \approx 3.5 $ см, $ BB_1 \approx 2.7 $ см.

254. В треугольнике $ABC$ $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $AC = 3 \text{ см}$. Найдите величину острого угла между медианами $CC_1$ и $AA_1$.

Дано

В треугольнике $ABC$: $AB = 5$ см, $BC = 4$ см, $AC = 3$ см. $CC_1$ и $AA_1$ - медианы.

Перевод в СИ

$AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$BC = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$AC = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти

Величину острого угла между медианами $CC_1$ и $AA_1$.

Решение

1. Определим тип треугольника $ABC$. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$AB^2 = 5^2 = 25$.
Так как $AC^2 + BC^2 = AB^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle C = 90^\circ $).

2. Разместим треугольник в декартовой системе координат для удобства вычислений. Пусть вершина $C$ находится в начале координат $(0,0)$. Так как $AC$ лежит на оси Y и $BC$ на оси X (или наоборот), то координаты вершин будут: $C(0,0)$, $A(0,3)$, $B(4,0)$.

3. Найдем координаты середин сторон, к которым проведены медианы. $A_1$ - середина стороны $BC$. Ее координаты: $A_1 = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2,0)$.
$C_1$ - середина стороны $AB$. Ее координаты: $C_1 = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right) = (2, 1.5)$.

4. Определим векторы медиан $AA_1$ и $CC_1$. Вектор медианы $AA_1$: $\vec{AA_1} = A_1 - A = (2-0, 0-3) = (2, -3)$.
Вектор медианы $CC_1$: $\vec{CC_1} = C_1 - C = (2-0, 1.5-0) = (2, 1.5)$.

5. Найдем длины этих векторов (длины медиан). $|\vec{AA_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
$|\vec{CC_1}| = \sqrt{2^2 + (1.5)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$.

6. Найдем косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ с помощью формулы скалярного произведения: $\cos \theta = \frac{\vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1}}{|\vec{AA_1}| |\vec{CC_1}|}$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1} = (2)(2) + (-3)(1.5) = 4 - 4.5 = -0.5$.
Теперь подставим значения в формулу для косинуса: $\cos \theta = \frac{-0.5}{\sqrt{13} \cdot 2.5} = \frac{-1/2}{\sqrt{13} \cdot 5/2} = \frac{-1}{5\sqrt{13}}$.

7. Поскольку $\cos \theta$ получился отрицательным, это означает, что угол $\theta$ между векторами является тупым. В задаче требуется найти величину острого угла между медианами. Если один угол между прямыми тупой, то смежный с ним угол будет острым. Косинус острого угла $\phi$ равен абсолютному значению косинуса тупого угла: $\cos \phi = |\cos \theta| = \left| \frac{-1}{5\sqrt{13}} \right| = \frac{1}{5\sqrt{13}}$.
Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$: $\cos \phi = \frac{1 \cdot \sqrt{13}}{5\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{5 \cdot 13} = \frac{\sqrt{13}}{65}$.

8. Таким образом, величина острого угла $\phi$ между медианами $CC_1$ и $AA_1$ равна: $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{65}\right)$.

Ответ:

Величина острого угла между медианами $CC_1$ и $AA_1$ равна $\arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{65}\right)$.

255. Шайба находится в точке на расстоянии 7 м и 8 м от оснований штанг ворот, ширина которых равна 1,5 м (рисунок 149). Найдите наибольший угол с целым числом градусов, при котором шайба, скользя по льду, попадает в ворота.

Рисунок 149

$ \alpha $

Дано

Расстояние от шайбы до одной штанги ворот: $a = 7$ м
Расстояние от шайбы до другой штанги ворот: $b = 8$ м
Ширина ворот: $c = 1.5$ м

Перевод в систему СИ

Все величины уже даны в системе СИ (метры).

Найти:

Наибольший угол $\alpha$ с целым числом градусов, при котором шайба попадает в ворота.

Решение

Пусть P - точка, где находится шайба, а A и B - основания штанг ворот. Таким образом, образуется треугольник PAB со сторонами PA = $a$, PB = $b$ и AB = $c$. Угол, под которым ворота видны из точки P, это угол APB, который мы обозначим как $\alpha$.

Для нахождения угла $\alpha$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника PAB:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$ из этой формулы:

$\cos(\alpha) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставим известные значения: $a = 7$ м, $b = 8$ м, $c = 1.5$ м.

$\cos(\alpha) = \frac{7^2 + 8^2 - (1.5)^2}{2 \cdot 7 \cdot 8}$

$\cos(\alpha) = \frac{49 + 64 - 2.25}{112}$

$\cos(\alpha) = \frac{113 - 2.25}{112}$

$\cos(\alpha) = \frac{110.75}{112}$

Вычислим значение $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) \approx 0.9888392857$

Теперь найдем угол $\alpha$, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

$\alpha = \arccos(0.9888392857)$

$\alpha \approx 8.5826^\circ$

По условию задачи требуется найти наибольший угол с целым числом градусов, при котором шайба, скользя по льду, попадает в ворота. Это означает, что нужно найти наибольшее целое число, которое не превышает вычисленный угол $\alpha$.

$\lfloor 8.5826^\circ \rfloor = 8^\circ$

Ответ:

Наибольший угол с целым числом градусов, при котором шайба попадает в ворота, составляет $8^\circ$.