Номер 248, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

248. a) В треугольнике $PKH$ $\angle K = 100^\circ$, $PK = 6 \text{ дм}$, $KH = 5 \text{ дм}$. Найдите длину медианы $HM$ и площадь треугольника $PMH$.

б) В равнобедренном треугольнике к боковой стороне длиной $10 \text{ см}$ проведена медиана, равная $9 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника с точностью до $0,1 \text{ см}^2$.

а)

Дано:
Треугольник $PKH$.
$\angle K = 100^\circ$
$PK = 6$ дм
$KH = 5$ дм
$HM$ - медиана

Перевод в СИ:
$PK = 6$ дм $ = 0.6$ м
$KH = 5$ дм $ = 0.5$ м

Найти:
Длину медианы $HM$
Площадь треугольника $PMH$ ($S_{PMH}$)

Решение:
1. Найдем длину медианы $HM$.
Медиана $HM$ проведена к стороне $PK$, поэтому точка $M$ является серединой стороны $PK$.
Следовательно, $KM = \frac{PK}{2} = \frac{6}{2} = 3$ дм.
Рассмотрим треугольник $KHM$. Известны стороны $KH = 5$ дм, $KM = 3$ дм и угол $\angle K = 100^\circ$.
Применим теорему косинусов для нахождения стороны $HM$ в треугольнике $KHM$:
$HM^2 = KH^2 + KM^2 - 2 \cdot KH \cdot KM \cdot \cos(\angle K)$
$HM^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(100^\circ)$
$HM^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \cos(100^\circ)$
Используем значение $\cos(100^\circ) \approx -0.17365$:
$HM^2 = 34 - 30 \cdot (-0.17365) = 34 + 5.2095 = 39.2095$
$HM = \sqrt{39.2095} \approx 6.2617$ дм.
Округляем до двух знаков после запятой: $HM \approx 6.26$ дм.

2. Найдем площадь треугольника $PMH$.
Сначала найдем площадь треугольника $PKH$ по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{PKH} = \frac{1}{2} \cdot PK \cdot KH \cdot \sin(\angle K)$
$S_{PKH} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin(100^\circ)$
Используем значение $\sin(100^\circ) \approx 0.98481$:
$S_{PKH} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 0.98481 = 15 \cdot 0.98481 = 14.77215$ дм$^2$.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то есть $S_{PMH} = S_{KHM}$.
Таким образом, $S_{PMH} = \frac{1}{2} S_{PKH}$.
$S_{PMH} = \frac{1}{2} \cdot 14.77215 = 7.386075$ дм$^2$.
Округляем до одного знака после запятой: $S_{PMH} \approx 7.4$ дм$^2$.

Ответ: Длина медианы $HM \approx 6.26$ дм, площадь треугольника $PMH \approx 7.4$ дм$^2$.

б)

Дано:
Равнобедренный треугольник $ABC$.
Боковые стороны: $AB = AC = 10$ см.
Медиана $BD$ проведена к стороне $AC$.
Длина медианы $BD = 9$ см.

Перевод в СИ:
$AB = AC = 10$ см $ = 0.1$ м
$BD = 9$ см $ = 0.09$ м

Найти:
Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) с точностью до 0,1 см$^2$.

Решение:
1. Найдем косинус угла при вершине $A$ равнобедренного треугольника $ABC$.
Медиана $BD$ проведена к стороне $AC$. Так как $D$ - середина $AC$, то $AD = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Рассмотрим треугольник $ABD$. Известны стороны $AB = 10$ см, $AD = 5$ см и медиана $BD = 9$ см.
Применим теорему косинусов для стороны $BD$ в треугольнике $ABD$ для нахождения $\cos(\angle A)$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
$9^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos(\angle A)$
$81 = 100 + 25 - 100 \cdot \cos(\angle A)$
$81 = 125 - 100 \cdot \cos(\angle A)$
$100 \cdot \cos(\angle A) = 125 - 81$
$100 \cdot \cos(\angle A) = 44$
$\cos(\angle A) = \frac{44}{100} = 0.44$.

2. Найдем синус угла $\angle A$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\angle A) + \cos^2(\angle A) = 1$:
$\sin(\angle A) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle A)}$
$\sin(\angle A) = \sqrt{1 - (0.44)^2} = \sqrt{1 - 0.1936} = \sqrt{0.8064}$
$\sin(\angle A) \approx 0.8980$.

3. Найдем площадь треугольника $ABC$.
Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(\angle A)$
$S_{ABC} = 50 \cdot \sin(\angle A)$
$S_{ABC} = 50 \cdot 0.8980 = 44.90$ см$^2$.
Округляем до точности 0,1 см$^2$: $S_{ABC} \approx 44.9$ см$^2$.

Ответ: Площадь треугольника $\approx 44.9$ см$^2$.