Номер 246, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

246. Найдите угол между диагоналями четырехугольника, если суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Дано

Четырехугольник $ABCD$.

Стороны: $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$.

Диагонали: $AC=d_1$, $BD=d_2$.

Условие: суммы квадратов противоположных сторон равны, то есть $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$.

Найти:

Угол $\phi$ между диагоналями $AC$ и $BD$.

Решение

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим длины отрезков диагоналей: $AO=x$, $BO=y$, $CO=z$, $DO=w$. Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \phi$. Тогда углы, образованные диагоналями в точке пересечения, будут: $\angle AOB = \phi$, $\angle BOC = 180^\circ - \phi$, $\angle COD = \phi$, $\angle DOA = 180^\circ - \phi$.

Применим теорему косинусов для каждой из четырех треугольников, образованных диагоналями:

Для $\triangle AOB$:

$a^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos\phi$

Для $\triangle BOC$:

$b^2 = y^2 + z^2 - 2yz \cos(180^\circ - \phi)$

Так как $\cos(180^\circ - \phi) = -\cos\phi$, то:

$b^2 = y^2 + z^2 + 2yz \cos\phi$

Для $\triangle COD$:

$c^2 = z^2 + w^2 - 2zw \cos\phi$

Для $\triangle DOA$:

$d^2 = w^2 + x^2 - 2wx \cos(180^\circ - \phi)$

Так как $\cos(180^\circ - \phi) = -\cos\phi$, то:

$d^2 = w^2 + x^2 + 2wx \cos\phi$

Согласно условию задачи, суммы квадратов противоположных сторон равны: $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$.

Подставим полученные выражения для квадратов сторон в это равенство:

$(x^2 + y^2 - 2xy \cos\phi) + (z^2 + w^2 - 2zw \cos\phi) = (y^2 + z^2 + 2yz \cos\phi) + (w^2 + x^2 + 2wx \cos\phi)$

Упростим это уравнение. Члены $x^2$, $y^2$, $z^2$, $w^2$ присутствуют с одинаковым знаком по обе стороны уравнения, поэтому они сокращаются:

$- 2xy \cos\phi - 2zw \cos\phi = 2yz \cos\phi + 2wx \cos\phi$

Разделим обе части уравнения на 2:

$- xy \cos\phi - zw \cos\phi = yz \cos\phi + wx \cos\phi$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$- xy \cos\phi - zw \cos\phi - yz \cos\phi - wx \cos\phi = 0$

Вынесем $\cos\phi$ за скобки:

$\cos\phi (-xy - zw - yz - wx) = 0$

Или, умножив на $-1$:

$- \cos\phi (xy + zw + yz + wx) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $x, y, z, w$ — это длины отрезков, они являются положительными числами. Следовательно, их сумма произведений $(xy + zw + yz + wx)$ всегда будет положительной и не может быть равна нулю.

Значит, единственная возможность для равенства нулю — это $\cos\phi = 0$.

Если $\cos\phi = 0$, то угол $\phi$ равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).

Ответ:

Угол между диагоналями равен $90^\circ$.