Номер 243, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

243. a) В $\Delta ABC$ сторона $AB = 10$ см, медианы $AM = 2\sqrt{13}$ см и $BN = \sqrt{73}$ см. Найдите длины сторон $AC$ и $CB$ этого треугольника.

б) В $\Delta ABC$ медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны и пересекаются в точке $K$. Найдите сторону $AB$, если $AC = 12$ см, $BC = 9$ см.

a) В $\Delta ABC$ сторона $AB = 10$ см, медианы $AM = 2\sqrt{13}$ см и $BN = \sqrt{73}$ см. Найдите длины сторон $AC$ и $CB$ этого треугольника.

Дано:

$AB = 10$ см

$AM = 2\sqrt{13}$ см

$BN = \sqrt{73}$ см

Перевод в СИ:

$AB = 0.1$ м

$AM = 0.02\sqrt{13}$ м

$BN = 0.01\sqrt{73}$ м

Найти:

$AC$, $CB$

Решение:

Обозначим длины сторон треугольника $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Медианы $AM$ и $BN$ являются медианами к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. То есть $m_a = AM$ и $m_b = BN$.

Используем формулы для квадратов длин медиан в треугольнике:

Медиана к стороне $a$ (в нашем случае $BC$): $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Медиана к стороне $b$ (в нашем случае $AC$): $m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Подставим известные значения $AM = 2\sqrt{13}$ см, $BN = \sqrt{73}$ см, $c = AB = 10$ см:

Для медианы $AM$:

$(2\sqrt{13})^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}{4}$

$4 \cdot 13 = \frac{2b^2 + 2 \cdot 10^2 - a^2}{4}$

$52 = \frac{2b^2 + 200 - a^2}{4}$

$208 = 2b^2 + 200 - a^2$

$2b^2 - a^2 = 8 \quad (1)$

Для медианы $BN$:

$(\sqrt{73})^2 = \frac{2 \cdot AB^2 + 2 \cdot BC^2 - AC^2}{4}$

$73 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2a^2 - b^2}{4}$

$73 = \frac{200 + 2a^2 - b^2}{4}$

$292 = 200 + 2a^2 - b^2$

$2a^2 - b^2 = 92 \quad (2)$

Получили систему линейных уравнений для $a^2$ и $b^2$:

$\begin{cases} 2b^2 - a^2 = 8 \\ 2a^2 - b^2 = 92 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a^2$: $a^2 = 2b^2 - 8$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(2b^2 - 8) - b^2 = 92$

$4b^2 - 16 - b^2 = 92$

$3b^2 = 92 + 16$

$3b^2 = 108$

$b^2 = \frac{108}{3}$

$b^2 = 36$

$b = \sqrt{36} = 6$ (так как длина стороны не может быть отрицательной)

Теперь найдем $a^2$:

$a^2 = 2b^2 - 8 = 2(36) - 8 = 72 - 8 = 64$

$a = \sqrt{64} = 8$ (так как длина стороны не может быть отрицательной)

Таким образом, $AC = b = 6$ см и $CB = a = 8$ см.

Ответ: $AC = 6$ см, $CB = 8$ см

б) В $\Delta ABC$ медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны и пересекаются в точке $K$. Найдите сторону $AB$, если $AC = 12$ см, $BC = 9$ см.

Дано:

В $\triangle ABC$: $AC = 12$ см, $BC = 9$ см

Медианы $AM \perp BN$

Медианы пересекаются в точке $K$

Перевод в СИ:

$AC = 0.12$ м

$BC = 0.09$ м

Найти:

$AB$

Решение:

Пусть $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.

Медианы треугольника делятся точкой их пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. Пусть $K$ - точка пересечения медиан $AM$ и $BN$.

Тогда $AK = \frac{2}{3}AM$ и $BK = \frac{2}{3}BN$.

Так как медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны, треугольник $AKB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.

По теореме Пифагора для $\triangle AKB$:

$AB^2 = AK^2 + BK^2$

$c^2 = \left(\frac{2}{3}AM\right)^2 + \left(\frac{2}{3}BN\right)^2$

$c^2 = \frac{4}{9}AM^2 + \frac{4}{9}BN^2$

$c^2 = \frac{4}{9}(AM^2 + BN^2)$

Известны формулы для квадратов длин медиан:

$AM^2 = m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

$BN^2 = m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Подставим эти выражения в уравнение для $c^2$:

$c^2 = \frac{4}{9}\left(\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}\right)$

$c^2 = \frac{1}{9}\left((2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2)\right)$

$c^2 = \frac{1}{9}\left(b^2 + 4c^2 + a^2\right)$

Умножим обе части на 9:

$9c^2 = a^2 + b^2 + 4c^2$

$9c^2 - 4c^2 = a^2 + b^2$

$5c^2 = a^2 + b^2$

Теперь подставим известные значения $a = BC = 9$ см и $b = AC = 12$ см:

$5 \cdot AB^2 = BC^2 + AC^2$

$5c^2 = 9^2 + 12^2$

$5c^2 = 81 + 144$

$5c^2 = 225$

$c^2 = \frac{225}{5}$

$c^2 = 45$

$c = \sqrt{45}$

$c = \sqrt{9 \cdot 5}$

$c = 3\sqrt{5}$ (так как длина стороны не может быть отрицательной)

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $AB = 3\sqrt{5}$ см