Номер 241, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

241. a) Стороны параллелограмма равны 3 см и 3,5 см, а одна из его диагоналей равна 5,5 см. Найдите другую диагональ параллелограмма.

б) Диагонали параллелограмма равны 14 см и 18 см, а стороны относятся как 4 : 7. Найдите периметр параллелограмма.

а)

Дано:

стороны параллелограмма: $a = 3 \text{ см}$, $b = 3.5 \text{ см}$
одна из диагоналей: $d_1 = 5.5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$b = 3.5 \text{ см} = 0.035 \text{ м}$
$d_1 = 5.5 \text{ см} = 0.055 \text{ м}$

Найти:

другая диагональ параллелограмма: $d_2$

Решение:

Для параллелограмма справедливо соотношение между сторонами и диагоналями (теорема о сумме квадратов диагоналей):

$2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$

Выразим из этой формулы $d_2$:

$d_2^2 = 2(a^2 + b^2) - d_1^2$
$d_2 = \sqrt{2(a^2 + b^2) - d_1^2}$

Подставим известные значения:

$a^2 = 3^2 = 9$
$b^2 = (3.5)^2 = 12.25$
$d_1^2 = (5.5)^2 = 30.25$

$d_2^2 = 2(9 + 12.25) - 30.25$
$d_2^2 = 2(21.25) - 30.25$
$d_2^2 = 42.5 - 30.25$
$d_2^2 = 12.25$
$d_2 = \sqrt{12.25}$
$d_2 = 3.5 \text{ см}$

Ответ: $3.5 \text{ см}$

б)

Дано:

диагонали параллелограмма: $d_1 = 14 \text{ см}$, $d_2 = 18 \text{ см}$
отношение сторон: $a:b = 4:7$

Перевод в СИ:

$d_1 = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$
$d_2 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

Найти:

периметр параллелограмма: $P$

Решение:

Используем ту же формулу для параллелограмма, связывающую стороны и диагонали:

$2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$

Из отношения сторон $a:b = 4:7$ можем записать $a = 4k$ и $b = 7k$, где $k$ – некоторый коэффициент.

Подставим выражения для сторон и известные значения диагоналей в формулу:

$2((4k)^2 + (7k)^2) = 14^2 + 18^2$
$2(16k^2 + 49k^2) = 196 + 324$
$2(65k^2) = 520$
$130k^2 = 520$
$k^2 = \frac{520}{130}$
$k^2 = 4$
$k = \sqrt{4}$
$k = 2$ (так как длина не может быть отрицательной)

Теперь найдем длины сторон:

$a = 4k = 4 \times 2 = 8 \text{ см}$
$b = 7k = 7 \times 2 = 14 \text{ см}$

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$:

$P = 2(8 + 14)$
$P = 2(22)$
$P = 44 \text{ см}$

Ответ: $44 \text{ см}$