Номер 240, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

240. a) В параллелограмме диагонали равны 2 дм и 3 дм, а угол между ними – $45^\circ$. Найдите с точностью до 0,01 дм стороны параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ равна 10 см, а угол между диагоналями – $60^\circ$. Найдите стороны и вторую диагональ параллелограмма, если его площадь равна $30\sqrt{3}$ см$^2$.

a)

Дано

Диагонали параллелограмма: $d_1 = 2 \text{ дм}$, $d_2 = 3 \text{ дм}$.

Угол между диагоналями: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ

$d_1 = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$d_2 = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Стороны параллелограмма $a, b$ (с точностью до 0,01 дм).

Решение

Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей параллелограмма, $a$ и $b$ — длины его сторон, $\alpha$ — угол между диагоналями.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ и одной из сторон $a$.

Половины диагоналей равны: $d_1/2 = 2/2 = 1 \text{ дм}$, $d_2/2 = 3/2 = 1.5 \text{ дм}$.

Применим теорему косинусов для нахождения стороны $a$:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos\alpha$

$a^2 = 1^2 + 1.5^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1.5 \cdot \cos(45^\circ)$

$a^2 = 1 + 2.25 - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 3.25 - 1.5\sqrt{2}$

$a = \sqrt{3.25 - 1.5\sqrt{2}}$

Вычислим приближенное значение: $\sqrt{2} \approx 1.41421356$.

$a \approx \sqrt{3.25 - 1.5 \cdot 1.41421356} \approx \sqrt{3.25 - 2.12132034} \approx \sqrt{1.12867966} \approx 1.0624 \text{ дм}$.

Округляем до 0,01 дм: $a \approx 1.06 \text{ дм}$.

Для второй стороны $b$, используем тот же подход, но с дополнительным углом $180^\circ - \alpha$ (так как углы между диагоналями смежные):

$b^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, формула принимает вид:

$b^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos\alpha$

$b^2 = 1^2 + 1.5^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 1 + 2.25 + 1.5\sqrt{2}$

$b^2 = 3.25 + 1.5\sqrt{2}$

$b = \sqrt{3.25 + 1.5\sqrt{2}}$

Вычислим приближенное значение:

$b \approx \sqrt{3.25 + 1.5 \cdot 1.41421356} \approx \sqrt{3.25 + 2.12132034} \approx \sqrt{5.37132034} \approx 2.3176 \text{ дм}$.

Округляем до 0,01 дм: $b \approx 2.32 \text{ дм}$.

Ответ: стороны параллелограмма примерно равны $1.06 \text{ дм}$ и $2.32 \text{ дм}$.

б)

Дано

Параллелограмм $ABCD$.

Диагональ $BD = d_2 = 10 \text{ см}$.

Угол между диагоналями: $\phi = 60^\circ$.

Площадь параллелограмма: $S = 30\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Перевод в СИ

$d_2 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$\phi = 60^\circ$

$S = 30\sqrt{3} \text{ см}^2 = 30\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 30\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Стороны параллелограмма $AB, BC$ и вторая диагональ $AC$.

Решение

Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, $S$ — площадь параллелограмма, $\phi$ — угол между диагоналями.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\phi$.

Подставим известные значения (в см и см$^2$):

$30\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 10 \cdot \sin(60^\circ)$

$30\sqrt{3} = 5 \cdot d_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$30 = \frac{5}{2} d_1$

$d_1 = \frac{30 \cdot 2}{5} = \frac{60}{5} = 12 \text{ см}$.

Таким образом, вторая диагональ $AC = 12 \text{ см}$.

Теперь найдем стороны параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Пусть точка пересечения диагоналей $O$.

Тогда $AO = OC = \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$.

$BO = OD = \frac{d_2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$.

Угол между диагоналями $\angle AOB = 60^\circ$. Соответственно, смежный угол $\angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$ для нахождения стороны $AB$. По теореме косинусов:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)$

$AB^2 = 36 + 25 - 60 \cdot \frac{1}{2}$

$AB^2 = 61 - 30 = 31$

$AB = \sqrt{31} \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $BOC$ для нахождения стороны $BC$. По теореме косинусов:

$BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)$

$BC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

$BC^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$BC^2 = 61 + 30 = 91$

$BC = \sqrt{91} \text{ см}$.

Ответ: вторая диагональ $AC = 12 \text{ см}$, стороны параллелограмма $AB = \sqrt{31} \text{ см}$ и $BC = \sqrt{91} \text{ см}$.