Номер 242, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

242.

а) Докажите, что длину медианы $m_a$ треугольника со сторонами $a, b, c$ можно найти по формуле $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$.

б) Найдите длину медианы треугольника, проведенную к большей стороне, если его стороны равны 7 см, 11 см и 12 см.

а) Для доказательства используем теорему косинусов. Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Пусть медиана $m_a$ проведена к стороне $a$. Она делит сторону $a$ на две равные части $a/2$. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$, $C$. Пусть $D$ - середина стороны $BC$ (стороны $a$), тогда $AD = m_a$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABD$ (стороны $c$, $m_a$, $a/2$):

$c^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 m_a \cdot \frac{a}{2} \cos(\angle ADB)$

$c^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a m_a \cos(\angle ADB)$ (1)

Применим теорему косинусов для треугольника $ACD$ (стороны $b$, $m_a$, $a/2$):

$b^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 m_a \cdot \frac{a}{2} \cos(\angle ADC)$

$b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a m_a \cos(\angle ADC)$ (2)

Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются смежными, так как точки $B$, $D$, $C$ лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ADB)$.

Подставим $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ADB)$ в уравнение (2):

$b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a m_a (-\cos(\angle ADB))$

$b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} + a m_a \cos(\angle ADB)$ (3)

Сложим уравнения (1) и (3) почленно:

$c^2 + b^2 = \left(m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a m_a \cos(\angle ADB)\right) + \left(m_a^2 + \frac{a^2}{4} + a m_a \cos(\angle ADB)\right)$

$c^2 + b^2 = 2m_a^2 + 2\frac{a^2}{4}$

$c^2 + b^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}$

Выразим $2m_a^2$ из полученного равенства:

$2m_a^2 = b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$

Выразим $m_a^2$:

$m_a^2 = \frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2)$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как длина медианы должна быть положительной, берем только положительное значение корня:

$m_a = \sqrt{\frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2)}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

б)

Дано:

Стороны треугольника: $s_1 = 7$ см, $s_2 = 11$ см, $s_3 = 12$ см.

Перевод в СИ:

$s_1 = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

$s_2 = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

$s_3 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Длину медианы, проведенной к большей стороне.

Решение:

Среди данных сторон $7$ см, $11$ см, $12$ см наибольшей является сторона $12$ см. Обозначим эту сторону как $a = 12$ см. Две другие стороны будут $b = 7$ см и $c = 11$ см (порядок $b$ и $c$ не влияет на результат в формуле). Используем формулу для длины медианы $m_a$, доказанную в пункте а):

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Подставим численные значения сторон в формулу:

$a = 12 \text{ см}$

$b = 7 \text{ см}$

$c = 11 \text{ см}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot (7 \text{ см})^2 + 2 \cdot (11 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 \text{ см}^2 + 2 \cdot 121 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{98 \text{ см}^2 + 242 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{340 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{196 \text{ см}^2}$

$m_a = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см}$

$m_a = 7 \text{ см}$

Таким образом, длина медианы, проведенной к большей стороне, равна $7$ см.

Ответ: $7$ см