Вопросы, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Формулировка

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно противолежащими этим сторонам, теорема косинусов формулируется следующим образом:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

Ответ: Формулировка теоремы косинусов представлена выше.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$. Обозначим углы при вершинах $A, B, C$ как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно. Проведем высоту $h$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Пусть основание высоты - точка $H$. Возможны три случая для угла $\alpha$:

Случай 1: Угол $\alpha$ острый (0° < $\alpha$ < 90°)

В прямоугольном треугольнике $AHB$:

$AH = c \cos\alpha$

$BH = c \sin\alpha$

Тогда $HC = AC - AH = b - c \cos\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$a^2 = (c \sin\alpha)^2 + (b - c \cos\alpha)^2$

$a^2 = c^2 \sin^2\alpha + b^2 - 2bc \cos\alpha + c^2 \cos^2\alpha$

$a^2 = c^2 (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + b^2 - 2bc \cos\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$a^2 = c^2 \cdot 1 + b^2 - 2bc \cos\alpha$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$

Случай 2: Угол $\alpha$ тупой (90° < $\alpha$ < 180°)

В этом случае основание высоты $H$ лежит вне отрезка $AC$, на продолжении стороны $CA$. В прямоугольном треугольнике $AHB$:

$AH = c \cos(180° - \alpha) = -c \cos\alpha$

$BH = c \sin(180° - \alpha) = c \sin\alpha$

Тогда $HC = AC + AH = b + (-c \cos\alpha) = b - c \cos\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$a^2 = (c \sin\alpha)^2 + (b - c \cos\alpha)^2$

$a^2 = c^2 \sin^2\alpha + b^2 - 2bc \cos\alpha + c^2 \cos^2\alpha$

$a^2 = c^2 (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + b^2 - 2bc \cos\alpha$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$

Случай 3: Угол $\alpha$ прямой ($\alpha$ = 90°)

В этом случае $\cos\alpha = \cos(90°) = 0$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. По теореме Пифагора:

$a^2 = b^2 + c^2$

Подставим $\cos\alpha = 0$ в формулу теоремы косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot 0$

$a^2 = b^2 + c^2$

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора.

Во всех трех случаях формула $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$ остается верной. Аналогично можно доказать формулы для $b^2$ и $c^2$.

Ответ: Доказательство теоремы косинусов рассмотрено для всех возможных случаев угла.