Номер 234, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

234. В треугольник, меньшая сторона которого равна 4 см, вписана окружность. Точки касания делят окружность на три дуги, градусная мера которых пропорциональна числам 9, 10 и 5. Найдите наибольшую сторону этого треугольника с точностью до 0,1 см.

Дано:

Меньшая сторона треугольника: $a_{\text{min}} = 4 \text{ см}$

Градусные меры дуг, на которые точки касания делят окружность, пропорциональны числам: $9:10:5$

Перевод в СИ:

$a_{\text{min}} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Наибольшая сторона треугольника ($a_{\text{max}}$) с точностью до 0.1 см.

Решение

Пусть градусные меры трех дуг, на которые точки касания вписанной окружности делят ее, равны $9x$, $10x$, $5x$. Сумма градусных мер этих дуг составляет $360^\circ$.

Таким образом, мы можем составить уравнение:

$9x + 10x + 5x = 360^\circ$

$24x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

Дуга 1: $9x = 9 \times 15^\circ = 135^\circ$

Дуга 2: $10x = 10 \times 15^\circ = 150^\circ$

Дуга 3: $5x = 5 \times 15^\circ = 75^\circ$

Известно, что угол треугольника, образованный двумя касательными к вписанной окружности, равен $180^\circ$ минус центральный угол, соответствующий дуге, заключенной между точками касания. То есть, если $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ - это меры дуг, то углы треугольника $A, B, C$ будут:

$A = 180^\circ - \text{дуга}_1 = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

$B = 180^\circ - \text{дуга}_2 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

$C = 180^\circ - \text{дуга}_3 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

Проверим сумму углов треугольника: $45^\circ + 30^\circ + 105^\circ = 180^\circ$. Это верно.

Меньшая сторона треугольника лежит напротив меньшего угла. В нашем случае, меньший угол равен $30^\circ$. Следовательно, сторона, лежащая напротив угла $30^\circ$, равна $4 \text{ см}$. Пусть эта сторона будет $b = 4 \text{ см}$.

Наибольшая сторона треугольника лежит напротив наибольшего угла. Наибольший угол равен $105^\circ$. Пусть эта сторона будет $c$.

Применим теорему синусов:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Выразим $c$:

$c = b \cdot \frac{\sin C}{\sin B}$

$c = 4 \text{ см} \cdot \frac{\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

Вычислим значения синусов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Подставим значения в формулу для $c$:

$c = 4 \cdot \frac{(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{\frac{1}{2}}$

$c = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

$c = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{6} \approx 2.4494897$

$\sqrt{2} \approx 1.41421356$

$c \approx 2(2.4494897 + 1.41421356) = 2(3.86370326) = 7.72740652 \text{ см}$

Округлим результат до 0.1 см:

$c \approx 7.7 \text{ см}$

Ответ: $7.7 \text{ см}$