Номер 232, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

232. a) Найдите с точностью до 0,1 см стороны $\triangle ABC$, если $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, а высота $CD = 3$ см.

б) По статистическим данным Казахстан занимает пятое место в мире по общей площади пастбищ. Сколько миллионов гектаров занимают пастбища Казахстана, если это количество выражается тем же числом, что и средняя по длине сторона $\triangle ABC$, в котором $BC = 100$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 80^\circ$?

a) Найдите с точностью до 0,1 см стороны $\triangle ABC$, если $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, а высота $CD = 3$ см.

Дано:
Треугольник $\triangle ABC$.
$\angle B = 30^\circ$
$\angle C = 45^\circ$
Высота $CD = 3$ см

Перевод в СИ:
$CD = 3$ см $= 0.03$ м

Найти:
Стороны $AB$, $BC$, $AC$ с точностью до $0.1$ см.

Решение:
1. Найдем угол $\angle A$ в $\triangle ABC$:
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$.
2. Так как $\angle A = 105^\circ$ является тупым углом, высота $CD$ (опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$) падает на продолжение стороны $AB$ за точку $A$. Точка $D$ находится на прямой $AB$, но вне отрезка $AB$ со стороны точки $A$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDB$ (угол $D$ прямой, $CD \perp DB$).
У нас есть $\angle B = 30^\circ$ и катет $CD = 3$ см.
$\sin(\angle B) = \frac{CD}{BC}$
$BC = \frac{CD}{\sin(\angle B)} = \frac{3}{\sin(30^\circ)} = \frac{3}{0.5} = 6$ см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDA$ (угол $D$ прямой).
Угол $\angle CAD$ является смежным с углом $\angle CAB$, поэтому $\angle CAD = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC}$
$AC = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{3}{\sin(75^\circ)}$.
Значение $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659$.
$AC = \frac{3}{0.9659} \approx 3.1059$ см. Округляем до $0.1$ см: $AC \approx 3.1$ см.
5. Найдем сторону $AB$, используя теорему синусов для $\triangle ABC$:
$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$
$AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{6 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(105^\circ)}$.
Значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$.
Значение $\sin(105^\circ) = \sin(75^\circ) \approx 0.9659$.
$AB = \frac{6 \cdot 0.7071}{0.9659} = \frac{4.2426}{0.9659} \approx 4.3922$ см. Округляем до $0.1$ см: $AB \approx 4.4$ см.

Ответ: Стороны $\triangle ABC$ равны: $BC = 6.0$ см, $AC \approx 3.1$ см, $AB \approx 4.4$ см.

б) По статистическим данным Казахстан занимает пятое место в мире по общей площади пастбищ. Сколько миллионов гектаров занимают пастбища Казахстана, если это количество выражается тем же числом, что и средняя по длине сторона $\triangle ABC$, в котором $BC = 100$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 80^\circ$?

Дано:
Треугольник $\triangle ABC$.
$BC = 100$
$\angle A = 30^\circ$
$\angle C = 80^\circ$

Найти:
Средняя длина стороны $\triangle ABC$ (в миллионах гектаров).

Решение:
1. Найдем угол $\angle B$ в $\triangle ABC$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 80^\circ = 70^\circ$.
2. Используем теорему синусов для нахождения длин остальных сторон:
$\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$
где $a=BC=100$, $b=AC$, $c=AB$.
$\frac{100}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(70^\circ)} = \frac{AB}{\sin(80^\circ)}$
$\frac{100}{0.5} = 200$.
3. Найдем сторону $AC$:
$AC = 200 \cdot \sin(70^\circ) \approx 200 \cdot 0.93969 \approx 187.938$.
4. Найдем сторону $AB$:
$AB = 200 \cdot \sin(80^\circ) \approx 200 \cdot 0.98481 \approx 196.962$.
5. Вычислим среднюю длину сторон:
Средняя длина = $\frac{BC + AC + AB}{3} = \frac{100 + 187.938 + 196.962}{3} = \frac{484.9}{3} \approx 161.6333...$
Округлим до одного десятичного знака: $161.6$.
6. Согласно условию задачи, количество миллионов гектаров пастбищ в Казахстане равно средней длине стороны этого треугольника.

Ответ: Пастбища Казахстана занимают примерно $161.6$ миллионов гектаров.