Страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

231. a) В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ – середина стороны $BC$, $AB = 5 \text{ дм}$, $\angle EAD = 30^\circ$, $\angle ABC = 100^\circ$. Найдите периметр и площадь параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма, диагональ которого, равная $8 \text{ см}$, составляет углы $45^\circ$ и $30^\circ$ с двумя его смежными сторонами.

a) Дано
$ABCD$ - параллелограмм.
$E$ - середина стороны $BC$.
$AB = 5 \text{ дм}$.
$\angle EAD = 30^\circ$.
$\angle ABC = 100^\circ$.

Перевод в СИ:
$AB = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$.

Найти:
$P_{ABCD}$
$S_{ABCD}$

Решение
1. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD \parallel BC$. Прямая $AE$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы $\angle EAD$ и $\angle AEB$ равны. Следовательно, $\angle AEB = \angle EAD = 30^\circ$.

2. В треугольнике $ABE$ угол $\angle ABE = \angle ABC = 100^\circ$ (так как точка $E$ лежит на стороне $BC$). Сумма углов треугольника $ABE$ равна $180^\circ$. Тогда $\angle BAE = 180^\circ - \angle ABE - \angle AEB = 180^\circ - 100^\circ - 30^\circ = 50^\circ$.

3. Используем теорему синусов для треугольника $ABE$:
$ \frac{AB}{\sin(\angle AEB)} = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)} $
$ \frac{5 \text{ дм}}{\sin(30^\circ)} = \frac{BE}{\sin(50^\circ)} $
$ BE = \frac{5 \cdot \sin(50^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{5 \cdot \sin(50^\circ)}{0.5} = 10 \cdot \sin(50^\circ) \text{ дм}$.

4. Так как $E$ - середина стороны $BC$, то $BC = 2 \cdot BE$.
$ BC = 2 \cdot 10 \cdot \sin(50^\circ) = 20 \cdot \sin(50^\circ) \text{ дм}$.

5. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 20 \cdot \sin(50^\circ) \text{ дм}$.

6. Периметр параллелограмма $ABCD$:
$ P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (5 + 20 \cdot \sin(50^\circ)) \text{ дм}$.
Приближенное значение: $ \sin(50^\circ) \approx 0.766 $.
$ P_{ABCD} \approx 2 \cdot (5 + 20 \cdot 0.766) = 2 \cdot (5 + 15.32) = 2 \cdot 20.32 = 40.64 \text{ дм}$.

7. Площадь параллелограмма $ABCD$:
Угол $ \angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ $. (Также $ \angle DAB = \angle BAE + \angle EAD = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ $)
Площадь параллелограмма может быть найдена по формуле $S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB)$.
$ S_{ABCD} = 5 \cdot (20 \cdot \sin(50^\circ)) \cdot \sin(80^\circ) = 100 \cdot \sin(50^\circ) \cdot \sin(80^\circ) \text{ дм}^2$.
Приближенное значение: $ \sin(80^\circ) \approx 0.9848 $.
$ S_{ABCD} \approx 100 \cdot 0.766 \cdot 0.9848 \approx 100 \cdot 0.7544 \approx 75.44 \text{ дм}^2$.

Ответ: Периметр $P_{ABCD} = 2 \cdot (5 + 20 \cdot \sin(50^\circ)) \text{ дм} \approx 40.64 \text{ дм}$. Площадь $S_{ABCD} = 100 \cdot \sin(50^\circ) \cdot \sin(80^\circ) \text{ дм}^2 \approx 75.44 \text{ дм}^2$.

б) Дано
$ABCD$ - параллелограмм.
Диагональ $AC = 8 \text{ см}$.
Углы, образуемые диагональю со смежными сторонами: $\angle BAC = 45^\circ$, $\angle CAD = 30^\circ$.

Перевод в СИ:
$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:
$S_{ABCD}$

Решение
1. Угол параллелограмма $A$ равен сумме углов, которые диагональ $AC$ образует со сторонами $AB$ и $AD$.
$ \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ $.

2. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD \parallel BC$. Прямая $AC$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны. Следовательно, $ \angle BCA = \angle CAD = 30^\circ $.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем сторону $AC = 8 \text{ см}$, $\angle BAC = 45^\circ$ и $\angle BCA = 30^\circ$.
Найдем угол $\angle ABC$:
$ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

4. Используем теорему синусов для треугольника $ABC$ для нахождения сторон $AB$ и $BC$.
$ \frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} $
$ \frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(105^\circ)} $.
Найдем $ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

Теперь найдем $AB$ и $BC$:
$ AB = \frac{8 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(105^\circ)} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $.
Рационализируем знаменатель:
$ AB = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 4(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \text{ см}$.
$ BC = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(105^\circ)} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $.
Рационализируем знаменатель:
$ BC = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 4(\sqrt{12} - 2) = 4(2\sqrt{3} - 2) = 8(\sqrt{3} - 1) \text{ см}$.

5. Площадь параллелограмма $ABCD$ может быть найдена по формуле $S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$.
Так как $AD = BC$, то $S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle BAD)$.
Мы знаем $AB = 4(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \text{ см}$, $BC = 8(\sqrt{3} - 1) \text{ см}$, и $\angle BAD = 75^\circ$.
Найдем $ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

$ S_{ABCD} = (4(\sqrt{6} - \sqrt{2})) \cdot (8(\sqrt{3} - 1)) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
$ S_{ABCD} = 32(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
$ S_{ABCD} = 8(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1) $.
$ S_{ABCD} = 8((\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2)(\sqrt{3} - 1) $.
$ S_{ABCD} = 8(6 - 2)(\sqrt{3} - 1) $.
$ S_{ABCD} = 8(4)(\sqrt{3} - 1) = 32(\sqrt{3} - 1) \text{ см}^2$.
Приближенное значение: $ \sqrt{3} \approx 1.732 $.
$ S_{ABCD} \approx 32 \cdot (1.732 - 1) = 32 \cdot 0.732 \approx 23.424 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь $S_{ABCD} = 32(\sqrt{3} - 1) \text{ см}^2 \approx 23.424 \text{ см}^2$.

232. a) Найдите с точностью до 0,1 см стороны $\triangle ABC$, если $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, а высота $CD = 3$ см.

б) По статистическим данным Казахстан занимает пятое место в мире по общей площади пастбищ. Сколько миллионов гектаров занимают пастбища Казахстана, если это количество выражается тем же числом, что и средняя по длине сторона $\triangle ABC$, в котором $BC = 100$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 80^\circ$?

a) Найдите с точностью до 0,1 см стороны $\triangle ABC$, если $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, а высота $CD = 3$ см.

Дано:
Треугольник $\triangle ABC$.
$\angle B = 30^\circ$
$\angle C = 45^\circ$
Высота $CD = 3$ см

Перевод в СИ:
$CD = 3$ см $= 0.03$ м

Найти:
Стороны $AB$, $BC$, $AC$ с точностью до $0.1$ см.

Решение:
1. Найдем угол $\angle A$ в $\triangle ABC$:
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$.
2. Так как $\angle A = 105^\circ$ является тупым углом, высота $CD$ (опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$) падает на продолжение стороны $AB$ за точку $A$. Точка $D$ находится на прямой $AB$, но вне отрезка $AB$ со стороны точки $A$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDB$ (угол $D$ прямой, $CD \perp DB$).
У нас есть $\angle B = 30^\circ$ и катет $CD = 3$ см.
$\sin(\angle B) = \frac{CD}{BC}$
$BC = \frac{CD}{\sin(\angle B)} = \frac{3}{\sin(30^\circ)} = \frac{3}{0.5} = 6$ см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDA$ (угол $D$ прямой).
Угол $\angle CAD$ является смежным с углом $\angle CAB$, поэтому $\angle CAD = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC}$
$AC = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{3}{\sin(75^\circ)}$.
Значение $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659$.
$AC = \frac{3}{0.9659} \approx 3.1059$ см. Округляем до $0.1$ см: $AC \approx 3.1$ см.
5. Найдем сторону $AB$, используя теорему синусов для $\triangle ABC$:
$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$
$AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{6 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(105^\circ)}$.
Значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$.
Значение $\sin(105^\circ) = \sin(75^\circ) \approx 0.9659$.
$AB = \frac{6 \cdot 0.7071}{0.9659} = \frac{4.2426}{0.9659} \approx 4.3922$ см. Округляем до $0.1$ см: $AB \approx 4.4$ см.

Ответ: Стороны $\triangle ABC$ равны: $BC = 6.0$ см, $AC \approx 3.1$ см, $AB \approx 4.4$ см.

б) По статистическим данным Казахстан занимает пятое место в мире по общей площади пастбищ. Сколько миллионов гектаров занимают пастбища Казахстана, если это количество выражается тем же числом, что и средняя по длине сторона $\triangle ABC$, в котором $BC = 100$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 80^\circ$?

Дано:
Треугольник $\triangle ABC$.
$BC = 100$
$\angle A = 30^\circ$
$\angle C = 80^\circ$

Найти:
Средняя длина стороны $\triangle ABC$ (в миллионах гектаров).

Решение:
1. Найдем угол $\angle B$ в $\triangle ABC$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 80^\circ = 70^\circ$.
2. Используем теорему синусов для нахождения длин остальных сторон:
$\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$
где $a=BC=100$, $b=AC$, $c=AB$.
$\frac{100}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(70^\circ)} = \frac{AB}{\sin(80^\circ)}$
$\frac{100}{0.5} = 200$.
3. Найдем сторону $AC$:
$AC = 200 \cdot \sin(70^\circ) \approx 200 \cdot 0.93969 \approx 187.938$.
4. Найдем сторону $AB$:
$AB = 200 \cdot \sin(80^\circ) \approx 200 \cdot 0.98481 \approx 196.962$.
5. Вычислим среднюю длину сторон:
Средняя длина = $\frac{BC + AC + AB}{3} = \frac{100 + 187.938 + 196.962}{3} = \frac{484.9}{3} \approx 161.6333...$
Округлим до одного десятичного знака: $161.6$.
6. Согласно условию задачи, количество миллионов гектаров пастбищ в Казахстане равно средней длине стороны этого треугольника.

Ответ: Пастбища Казахстана занимают примерно $161.6$ миллионов гектаров.

233. Найдите периметр и углы $\triangle ABC$ с точностью до $1^\circ$, если в нем:

а) $\angle B = 60^\circ$, а высота $AD$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BD = 2\sqrt{3}$ см и $DC = 8$ см;

б) $\angle C = 30^\circ$, а высота $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD = 12$ см и $DC = 5\sqrt{3}$ см.

а)

Дано:

треугольник $\triangle ABC$.

$\angle B = 60^\circ$.

$AD$ - высота к стороне $BC$, то есть $AD \perp BC$.

$BD = 2\sqrt{3}$ см.

$DC = 8$ см.

Перевод в СИ: Данные приведены в сантиметрах и градусах, что является удобной формой для геометрических задач. Для сохранения точности и удобства расчетов оставим значения в текущих единицах, так как конечные ответы (длины) не требуют строгого перевода в метры, а углы уже в градусах.

Найти:

Периметр $P_{ABC}$ и углы $\angle A, \angle C$ треугольника $\triangle ABC$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение

Поскольку $AD$ является высотой, треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$:

Известно $\angle B = 60^\circ$ и $BD = 2\sqrt{3}$ см.

Используем тригонометрические соотношения:

Высота $AD = BD \cdot \tan(\angle B) = 2\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Сторона $AB = BD / \cos(\angle B) = 2\sqrt{3} / \cos(60^\circ) = 2\sqrt{3} / (1/2) = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$:

Известно $AD = 6$ см и $DC = 8$ см.

Найдем сторону $AC$ по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Найдем сторону $BC$ треугольника $\triangle ABC$:

$BC = BD + DC = 2\sqrt{3} + 8$ см.

Вычислим периметр треугольника $\triangle ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 4\sqrt{3} + (2\sqrt{3} + 8) + 10 = 6\sqrt{3} + 18$ см.

Приблизительное значение периметра: $6\sqrt{3} + 18 \approx 6 \cdot 1.73205 + 18 \approx 10.3923 + 18 \approx 28.39$ см.

Теперь найдем углы треугольника $\triangle ABC$:

$\angle B = 60^\circ$ (дано).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ найдем $\angle C$:

$\tan(\angle C) = AD / DC = 6 / 8 = 3/4 = 0.75$.

$\angle C = \arctan(0.75) \approx 36.8698^\circ$. С точностью до $1^\circ$, $\angle C \approx 37^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Найдем $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - \arctan(0.75) \approx 180^\circ - 60^\circ - 36.8698^\circ = 83.1302^\circ$.

С точностью до $1^\circ$, $\angle A \approx 83^\circ$.

Проверка суммы углов: $60^\circ + 37^\circ + 83^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Периметр $P_{ABC} \approx 28.39$ см, $\angle A \approx 83^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C \approx 37^\circ$.

б)

Дано:

треугольник $\triangle ABC$.

$\angle C = 30^\circ$.

$BD$ - высота к стороне $AC$, то есть $BD \perp AC$.

$AD = 12$ см.

$DC = 5\sqrt{3}$ см.

Перевод в СИ: Данные приведены в сантиметрах и градусах, что является удобной формой для геометрических задач. Для сохранения точности и удобства расчетов оставим значения в текущих единицах, так как конечные ответы (длины) не требуют строгого перевода в метры, а углы уже в градусах.

Найти:

Периметр $P_{ABC}$ и углы $\angle A, \angle B$ треугольника $\triangle ABC$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение

Поскольку $BD$ является высотой, треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDB$:

Известно $\angle C = 30^\circ$ и $DC = 5\sqrt{3}$ см.

Используем тригонометрические соотношения:

Высота $BD = DC \cdot \tan(\angle C) = 5\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 5\sqrt{3} \cdot (1/\sqrt{3}) = 5$ см.

Сторона $BC = DC / \cos(\angle C) = 5\sqrt{3} / \cos(30^\circ) = 5\sqrt{3} / (\sqrt{3}/2) = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$:

Известно $AD = 12$ см и $BD = 5$ см.

Найдем сторону $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Найдем сторону $AC$ треугольника $\triangle ABC$:

$AC = AD + DC = 12 + 5\sqrt{3}$ см.

Вычислим периметр треугольника $\triangle ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 13 + 10 + (12 + 5\sqrt{3}) = 35 + 5\sqrt{3}$ см.

Приблизительное значение периметра: $35 + 5\sqrt{3} \approx 35 + 5 \cdot 1.73205 \approx 35 + 8.66025 \approx 43.66$ см.

Теперь найдем углы треугольника $\triangle ABC$:

$\angle C = 30^\circ$ (дано).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADB$ найдем $\angle A$:

$\tan(\angle A) = BD / AD = 5 / 12$.

$\angle A = \arctan(5/12) \approx 22.61986^\circ$. С точностью до $1^\circ$, $\angle A \approx 23^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Найдем $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - \arctan(5/12) - 30^\circ \approx 180^\circ - 22.61986^\circ - 30^\circ = 127.38014^\circ$.

С точностью до $1^\circ$, $\angle B \approx 127^\circ$.

Проверка суммы углов: $23^\circ + 127^\circ + 30^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Периметр $P_{ABC} \approx 43.66$ см, $\angle A \approx 23^\circ$, $\angle B \approx 127^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.

234. В треугольник, меньшая сторона которого равна 4 см, вписана окружность. Точки касания делят окружность на три дуги, градусная мера которых пропорциональна числам 9, 10 и 5. Найдите наибольшую сторону этого треугольника с точностью до 0,1 см.

Дано:

Меньшая сторона треугольника: $a_{\text{min}} = 4 \text{ см}$

Градусные меры дуг, на которые точки касания делят окружность, пропорциональны числам: $9:10:5$

Перевод в СИ:

$a_{\text{min}} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Наибольшая сторона треугольника ($a_{\text{max}}$) с точностью до 0.1 см.

Решение

Пусть градусные меры трех дуг, на которые точки касания вписанной окружности делят ее, равны $9x$, $10x$, $5x$. Сумма градусных мер этих дуг составляет $360^\circ$.

Таким образом, мы можем составить уравнение:

$9x + 10x + 5x = 360^\circ$

$24x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

Дуга 1: $9x = 9 \times 15^\circ = 135^\circ$

Дуга 2: $10x = 10 \times 15^\circ = 150^\circ$

Дуга 3: $5x = 5 \times 15^\circ = 75^\circ$

Известно, что угол треугольника, образованный двумя касательными к вписанной окружности, равен $180^\circ$ минус центральный угол, соответствующий дуге, заключенной между точками касания. То есть, если $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ - это меры дуг, то углы треугольника $A, B, C$ будут:

$A = 180^\circ - \text{дуга}_1 = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

$B = 180^\circ - \text{дуга}_2 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

$C = 180^\circ - \text{дуга}_3 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

Проверим сумму углов треугольника: $45^\circ + 30^\circ + 105^\circ = 180^\circ$. Это верно.

Меньшая сторона треугольника лежит напротив меньшего угла. В нашем случае, меньший угол равен $30^\circ$. Следовательно, сторона, лежащая напротив угла $30^\circ$, равна $4 \text{ см}$. Пусть эта сторона будет $b = 4 \text{ см}$.

Наибольшая сторона треугольника лежит напротив наибольшего угла. Наибольший угол равен $105^\circ$. Пусть эта сторона будет $c$.

Применим теорему синусов:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Выразим $c$:

$c = b \cdot \frac{\sin C}{\sin B}$

$c = 4 \text{ см} \cdot \frac{\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

Вычислим значения синусов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Подставим значения в формулу для $c$:

$c = 4 \cdot \frac{(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{\frac{1}{2}}$

$c = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

$c = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{6} \approx 2.4494897$

$\sqrt{2} \approx 1.41421356$

$c \approx 2(2.4494897 + 1.41421356) = 2(3.86370326) = 7.72740652 \text{ см}$

Округлим результат до 0.1 см:

$c \approx 7.7 \text{ см}$

Ответ: $7.7 \text{ см}$

235. В равнобедренном $ \Delta ABC $ $ AB = AC = \sqrt{2} $ дм, $ \angle BAC = 30^{\circ} $, точка $ O $ – центр описанной около него окружности. Луч $ BO $ пересекает сторону $ AC $ в точке $ K $. Найдите длину отрезка $ BK $.

Дано:

Равнобедренный треугольник $\triangle ABC$:

$AB = AC = \sqrt{2}$ дм

$\angle BAC = 30^\circ$

Точка $O$ - центр описанной окружности около $\triangle ABC$.

Луч $BO$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$.

Перевод в СИ:

$AB = AC = \sqrt{2}$ дм $= \sqrt{2} \times 0.1$ м

Найти:

$BK$

Решение:

1. Найдем углы треугольника $\triangle ABC$.

Так как $\triangle ABC$ равнобедренный и $AB = AC$, то углы при основании $BC$ равны:

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$.

2. Найдем радиус $R$ описанной окружности.

Используем теорему синусов для $\triangle ABC$: $\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R$.

Найдем сторону $BC$ по теореме косинусов в $\triangle ABC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

$BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(30^\circ)$

$BC^2 = 2 + 2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 4 - 2\sqrt{3}$

$BC = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$. Заметим, что $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$.

Следовательно, $BC = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$ дм.

Теперь найдем радиус $R$ описанной окружности:

$2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1/2} = 2(\sqrt{3} - 1)$

$R = \sqrt{3} - 1$ дм.

3. Рассмотрим центральные углы, опирающиеся на хорды.

Центр описанной окружности $O$ равноудален от вершин треугольника, т.е. $OA = OB = OC = R$.

Угол $\angle AOB$ опирается на ту же дугу, что и вписанный угол $\angle ACB$. Значит, $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$.

$\triangle AOB$ равнобедренный, так как $OA = OB = R$.

Углы при основании $AB$ равны:

$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

5. Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$.

Луч $BO$ пересекает $AC$ в точке $K$. Следовательно, точка $K$ лежит на прямой $BO$, и $\angle ABK = \angle OBA = 15^\circ$.

В $\triangle ABK$ нам известны:

$AB = \sqrt{2}$ дм

$\angle BAK = \angle BAC = 30^\circ$

$\angle ABK = 15^\circ$

Найдем третий угол $\angle AKB$ в $\triangle ABK$:

$\angle AKB = 180^\circ - (\angle BAK + \angle ABK) = 180^\circ - (30^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

6. Применим теорему синусов к $\triangle ABK$, чтобы найти $BK$.

$\frac{BK}{\sin(\angle BAK)} = \frac{AB}{\sin(\angle AKB)}$

$\frac{BK}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(135^\circ)}$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения:

$\frac{BK}{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}$

$2 \cdot BK = 2$

$BK = 1$ дм.

Ответ:

$BK = 1$ дм.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте треугольник со сторонами 5 см, 8 см и углом между ними в 60°. Найдите третью сторону треугольника, используя векторы.

Дано:

Две стороны треугольника: $a = 5 \, \text{см}$, $b = 8 \, \text{см}$

Угол между этими сторонами: $\gamma = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м}$

$b = 8 \, \text{см} = 0.08 \, \text{м}$

$\gamma = 60^\circ$

Найти:

Третью сторону треугольника ($c$).

Решение:

Постройте треугольник со сторонами 5 см, 8 см и углом между ними в 60°.

Для построения треугольника с заданными двумя сторонами и углом между ними (по двум сторонам и углу между ними) выполним следующие шаги:

1. Проведите отрезок длиной 8 см. Обозначьте его концы как точки A и B.

2. В точке A постройте угол, равный $60^\circ$, используя транспортир или циркуль и линейку (например, построив равносторонний треугольник, одна из сторон которого лежит на AB).

3. На луче, исходящем из точки A под углом $60^\circ$ к отрезку AB, отложите отрезок длиной 5 см. Обозначьте конец этого отрезка как точку C.

4. Соедините точки B и C отрезком. Треугольник ABC является искомым, где AB = 8 см, AC = 5 см и угол между ними $ \angle BAC = 60^\circ $. Длина отрезка BC будет третьей стороной треугольника.

Ответ: Описана процедура построения треугольника.

Найдите третью сторону треугольника, используя векторы.

Пусть две данные стороны треугольника представлены векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, исходящими из одной вершины. Модули этих векторов равны их длинам: $|\vec{a}| = 5 \, \text{см}$ и $|\vec{b}| = 8 \, \text{см}$. Угол между этими векторами равен $\gamma = 60^\circ$.

Третья сторона треугольника может быть представлена как вектор $\vec{c}$, который является разностью векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$, то есть $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$.

Для нахождения длины третьей стороны (модуля вектора $\vec{c}$) воспользуемся свойством скалярного произведения вектора на себя:

$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$

Подставим выражение для $\vec{c}$:

$|\vec{c}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

Раскроем скалярное произведение (аналогично квадрату разности в алгебре, но с учетом, что это векторы):

$|\vec{c}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{a}$

Используя определения модуля вектора ($|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$) и скалярного произведения двух векторов ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\gamma$), подставим их в уравнение:

$|\vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\gamma + |\vec{a}|^2$

Перегруппируем члены для удобства и подставим известные числовые значения:

$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\gamma$

$|\vec{c}|^2 = (5 \, \text{см})^2 + (8 \, \text{см})^2 - 2 \cdot (5 \, \text{см}) \cdot (8 \, \text{см}) \cdot \cos(60^\circ)$

Вычислим значения:

$|\vec{c}|^2 = 25 \, \text{см}^2 + 64 \, \text{см}^2 - 2 \cdot 40 \, \text{см}^2 \cdot 0.5$

$|\vec{c}|^2 = 89 \, \text{см}^2 - 40 \, \text{см}^2$

$|\vec{c}|^2 = 49 \, \text{см}^2$

Для нахождения длины третьей стороны извлечем квадратный корень:

$|\vec{c}| = \sqrt{49 \, \text{см}^2}$

$|\vec{c}| = 7 \, \text{см}$

Ответ: Третья сторона треугольника равна $7 \, \text{см}$.