Страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

242.

а) Докажите, что длину медианы $m_a$ треугольника со сторонами $a, b, c$ можно найти по формуле $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$.

б) Найдите длину медианы треугольника, проведенную к большей стороне, если его стороны равны 7 см, 11 см и 12 см.

а) Для доказательства используем теорему косинусов. Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Пусть медиана $m_a$ проведена к стороне $a$. Она делит сторону $a$ на две равные части $a/2$. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$, $C$. Пусть $D$ - середина стороны $BC$ (стороны $a$), тогда $AD = m_a$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABD$ (стороны $c$, $m_a$, $a/2$):

$c^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 m_a \cdot \frac{a}{2} \cos(\angle ADB)$

$c^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a m_a \cos(\angle ADB)$ (1)

Применим теорему косинусов для треугольника $ACD$ (стороны $b$, $m_a$, $a/2$):

$b^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 m_a \cdot \frac{a}{2} \cos(\angle ADC)$

$b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a m_a \cos(\angle ADC)$ (2)

Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются смежными, так как точки $B$, $D$, $C$ лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ADB)$.

Подставим $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ADB)$ в уравнение (2):

$b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a m_a (-\cos(\angle ADB))$

$b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} + a m_a \cos(\angle ADB)$ (3)

Сложим уравнения (1) и (3) почленно:

$c^2 + b^2 = \left(m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a m_a \cos(\angle ADB)\right) + \left(m_a^2 + \frac{a^2}{4} + a m_a \cos(\angle ADB)\right)$

$c^2 + b^2 = 2m_a^2 + 2\frac{a^2}{4}$

$c^2 + b^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}$

Выразим $2m_a^2$ из полученного равенства:

$2m_a^2 = b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$

Выразим $m_a^2$:

$m_a^2 = \frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2)$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как длина медианы должна быть положительной, берем только положительное значение корня:

$m_a = \sqrt{\frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2)}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

б)

Дано:

Стороны треугольника: $s_1 = 7$ см, $s_2 = 11$ см, $s_3 = 12$ см.

Перевод в СИ:

$s_1 = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

$s_2 = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

$s_3 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Длину медианы, проведенной к большей стороне.

Решение:

Среди данных сторон $7$ см, $11$ см, $12$ см наибольшей является сторона $12$ см. Обозначим эту сторону как $a = 12$ см. Две другие стороны будут $b = 7$ см и $c = 11$ см (порядок $b$ и $c$ не влияет на результат в формуле). Используем формулу для длины медианы $m_a$, доказанную в пункте а):

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Подставим численные значения сторон в формулу:

$a = 12 \text{ см}$

$b = 7 \text{ см}$

$c = 11 \text{ см}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot (7 \text{ см})^2 + 2 \cdot (11 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 \text{ см}^2 + 2 \cdot 121 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{98 \text{ см}^2 + 242 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{340 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{196 \text{ см}^2}$

$m_a = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см}$

$m_a = 7 \text{ см}$

Таким образом, длина медианы, проведенной к большей стороне, равна $7$ см.

Ответ: $7$ см

243. a) В $\Delta ABC$ сторона $AB = 10$ см, медианы $AM = 2\sqrt{13}$ см и $BN = \sqrt{73}$ см. Найдите длины сторон $AC$ и $CB$ этого треугольника.

б) В $\Delta ABC$ медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны и пересекаются в точке $K$. Найдите сторону $AB$, если $AC = 12$ см, $BC = 9$ см.

a) В $\Delta ABC$ сторона $AB = 10$ см, медианы $AM = 2\sqrt{13}$ см и $BN = \sqrt{73}$ см. Найдите длины сторон $AC$ и $CB$ этого треугольника.

Дано:

$AB = 10$ см

$AM = 2\sqrt{13}$ см

$BN = \sqrt{73}$ см

Перевод в СИ:

$AB = 0.1$ м

$AM = 0.02\sqrt{13}$ м

$BN = 0.01\sqrt{73}$ м

Найти:

$AC$, $CB$

Решение:

Обозначим длины сторон треугольника $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Медианы $AM$ и $BN$ являются медианами к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. То есть $m_a = AM$ и $m_b = BN$.

Используем формулы для квадратов длин медиан в треугольнике:

Медиана к стороне $a$ (в нашем случае $BC$): $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Медиана к стороне $b$ (в нашем случае $AC$): $m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Подставим известные значения $AM = 2\sqrt{13}$ см, $BN = \sqrt{73}$ см, $c = AB = 10$ см:

Для медианы $AM$:

$(2\sqrt{13})^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}{4}$

$4 \cdot 13 = \frac{2b^2 + 2 \cdot 10^2 - a^2}{4}$

$52 = \frac{2b^2 + 200 - a^2}{4}$

$208 = 2b^2 + 200 - a^2$

$2b^2 - a^2 = 8 \quad (1)$

Для медианы $BN$:

$(\sqrt{73})^2 = \frac{2 \cdot AB^2 + 2 \cdot BC^2 - AC^2}{4}$

$73 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2a^2 - b^2}{4}$

$73 = \frac{200 + 2a^2 - b^2}{4}$

$292 = 200 + 2a^2 - b^2$

$2a^2 - b^2 = 92 \quad (2)$

Получили систему линейных уравнений для $a^2$ и $b^2$:

$\begin{cases} 2b^2 - a^2 = 8 \\ 2a^2 - b^2 = 92 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a^2$: $a^2 = 2b^2 - 8$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(2b^2 - 8) - b^2 = 92$

$4b^2 - 16 - b^2 = 92$

$3b^2 = 92 + 16$

$3b^2 = 108$

$b^2 = \frac{108}{3}$

$b^2 = 36$

$b = \sqrt{36} = 6$ (так как длина стороны не может быть отрицательной)

Теперь найдем $a^2$:

$a^2 = 2b^2 - 8 = 2(36) - 8 = 72 - 8 = 64$

$a = \sqrt{64} = 8$ (так как длина стороны не может быть отрицательной)

Таким образом, $AC = b = 6$ см и $CB = a = 8$ см.

Ответ: $AC = 6$ см, $CB = 8$ см

б) В $\Delta ABC$ медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны и пересекаются в точке $K$. Найдите сторону $AB$, если $AC = 12$ см, $BC = 9$ см.

Дано:

В $\triangle ABC$: $AC = 12$ см, $BC = 9$ см

Медианы $AM \perp BN$

Медианы пересекаются в точке $K$

Перевод в СИ:

$AC = 0.12$ м

$BC = 0.09$ м

Найти:

$AB$

Решение:

Пусть $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.

Медианы треугольника делятся точкой их пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. Пусть $K$ - точка пересечения медиан $AM$ и $BN$.

Тогда $AK = \frac{2}{3}AM$ и $BK = \frac{2}{3}BN$.

Так как медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны, треугольник $AKB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.

По теореме Пифагора для $\triangle AKB$:

$AB^2 = AK^2 + BK^2$

$c^2 = \left(\frac{2}{3}AM\right)^2 + \left(\frac{2}{3}BN\right)^2$

$c^2 = \frac{4}{9}AM^2 + \frac{4}{9}BN^2$

$c^2 = \frac{4}{9}(AM^2 + BN^2)$

Известны формулы для квадратов длин медиан:

$AM^2 = m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

$BN^2 = m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Подставим эти выражения в уравнение для $c^2$:

$c^2 = \frac{4}{9}\left(\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}\right)$

$c^2 = \frac{1}{9}\left((2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2)\right)$

$c^2 = \frac{1}{9}\left(b^2 + 4c^2 + a^2\right)$

Умножим обе части на 9:

$9c^2 = a^2 + b^2 + 4c^2$

$9c^2 - 4c^2 = a^2 + b^2$

$5c^2 = a^2 + b^2$

Теперь подставим известные значения $a = BC = 9$ см и $b = AC = 12$ см:

$5 \cdot AB^2 = BC^2 + AC^2$

$5c^2 = 9^2 + 12^2$

$5c^2 = 81 + 144$

$5c^2 = 225$

$c^2 = \frac{225}{5}$

$c^2 = 45$

$c = \sqrt{45}$

$c = \sqrt{9 \cdot 5}$

$c = 3\sqrt{5}$ (так как длина стороны не может быть отрицательной)

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $AB = 3\sqrt{5}$ см

244. Найдите величины углов треугольника, стороны которого равны:

a) 5 см, 12 см и 13 см;

б) 7 см, 8 см и 9 см;

в) 6 см, 8 см и 12 см;

г) $ \sqrt{8} $ см, $ \sqrt{12} $ см, $ \sqrt{20} $ см.

а)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 5$ см, $b = 12$ см, $c = 13$ см.

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$c = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

Найти:

Величины углов треугольника ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$).

Решение:

Для нахождения углов треугольника используем теорему косинусов. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий стороне $a$, $\beta$ - угол, противолежащий стороне $b$, $\gamma$ - угол, противолежащий стороне $c$.

Проверим соотношение сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. И $c^2 = 13^2 = 169$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, и угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$, равен $90^\circ$.

Теперь найдем остальные углы с помощью теоремы косинусов:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{12^2 + 13^2 - 5^2}{2 \cdot 12 \cdot 13} = \frac{144 + 169 - 25}{312} = \frac{288}{312} = \frac{12}{13}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{12}{13}\right) \approx 22.62^\circ$

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 13^2 - 12^2}{2 \cdot 5 \cdot 13} = \frac{25 + 169 - 144}{130} = \frac{50}{130} = \frac{5}{13}$

$\beta = \arccos\left(\frac{5}{13}\right) \approx 67.38^\circ$

Проверка суммы углов: $22.62^\circ + 67.38^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $22.62^\circ$, $67.38^\circ$ и $90^\circ$.

б)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 7$ см, $b = 8$ см, $c = 9$ см.

Перевод в СИ:

$a = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$c = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Величины углов треугольника ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$).

Решение:

Используем теорему косинусов:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \approx 48.19^\circ$

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 9^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}$

$\beta = \arccos\left(\frac{11}{21}\right) \approx 58.74^\circ$

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 9^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$

$\gamma = \arccos\left(\frac{2}{7}\right) \approx 73.40^\circ$

Проверка суммы углов: $48.19^\circ + 58.74^\circ + 73.40^\circ = 180.33^\circ$ (разница обусловлена округлением).

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $48.19^\circ$, $58.74^\circ$ и $73.40^\circ$.

в)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 12$ см.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$c = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Величины углов треугольника ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$).

Решение:

Используем теорему косинусов:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 12^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 12} = \frac{64 + 144 - 36}{192} = \frac{172}{192} = \frac{43}{48}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{43}{48}\right) \approx 26.38^\circ$

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 12^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 12} = \frac{36 + 144 - 64}{144} = \frac{116}{144} = \frac{29}{36}$

$\beta = \arccos\left(\frac{29}{36}\right) \approx 36.34^\circ$

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 8^2 - 12^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{36 + 64 - 144}{96} = \frac{100 - 144}{96} = \frac{-44}{96} = -\frac{11}{24}$

$\gamma = \arccos\left(-\frac{11}{24}\right) \approx 117.28^\circ$

Проверка суммы углов: $26.38^\circ + 36.34^\circ + 117.28^\circ = 180.00^\circ$.

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $26.38^\circ$, $36.34^\circ$ и $117.28^\circ$.

г)

Дано:

Стороны треугольника: $a = \sqrt{8}$ см, $b = \sqrt{12}$ см, $c = \sqrt{20}$ см.

Упростим значения сторон:

$a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см

$b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см

$c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см

Перевод в СИ:

$a = 2\sqrt{2} \text{ см} \approx 2.828 \text{ см} = 0.02828 \text{ м}$

$b = 2\sqrt{3} \text{ см} \approx 3.464 \text{ см} = 0.03464 \text{ м}$

$c = 2\sqrt{5} \text{ см} \approx 4.472 \text{ см} = 0.04472 \text{ м}$

Найти:

Величины углов треугольника ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$).

Решение:

Используем теорему косинусов. Сначала вычислим квадраты сторон:

$a^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$

$b^2 = (\sqrt{12})^2 = 12$

$c^2 = (\sqrt{20})^2 = 20$

Проверим соотношение сторон: $a^2 + b^2 = 8 + 12 = 20$. И $c^2 = 20$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, и угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$, равен $90^\circ$.

Теперь найдем остальные углы с помощью теоремы косинусов:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{12 + 20 - 8}{2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{5})} = \frac{24}{8\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) \approx 39.23^\circ$

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8 + 20 - 12}{2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{5})} = \frac{16}{8\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right) \approx 50.77^\circ$

Проверка суммы углов: $39.23^\circ + 50.77^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $39.23^\circ$, $50.77^\circ$ и $90^\circ$.

245. а) Периметр треугольника равен 30 см. Найдите угол, противолежащий стороне, равной 14 см, если биссектриса треугольника делит ее в отношении 3 : 5.

б) Найдите периметр треугольника, в котором сторона равна 10 см, противолежащий ей угол – $45^\circ$, а его площадь – $8\text{ см}^2$.

а)

Дано:

Периметр треугольника $P = 30$ см.

Сторона $a = 14$ см.

Биссектриса делит сторону $a$ в отношении $3:5$.

Перевод в СИ:

$P = 30 \text{ см} = 0.30 \text{ м}$

$a = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Найти:

Угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$.

Решение:

Пусть стороны треугольника будут $a$, $b$, и $c$. Задана сторона $a=14$ см. Периметр $P = a+b+c = 30$ см.

Биссектриса угла, противолежащего стороне $a$, делит эту сторону на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих сторон. Если биссектриса угла $A$ делит сторону $a$ (которую обозначим $BC$) на отрезки $BD$ и $DC$, то по теореме о биссектрисе угла треугольника имеем: $\frac{c}{b} = \frac{BD}{DC}$.

Дано, что биссектриса делит сторону $a$ в отношении $3:5$. Пусть $BD:DC = 3:5$.

Так как $BD + DC = a = 14$ см, и $BD = 3k$, $DC = 5k$ для некоторого $k$, то:

$3k + 5k = 14$

$8k = 14$

$k = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

Тогда $BD = 3 \times \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$ см, и $DC = 5 \times \frac{7}{4} = \frac{35}{4}$ см.

Из теоремы о биссектрисе: $\frac{c}{b} = \frac{3}{5}$, что означает $c = \frac{3}{5}b$.

Подставим известные значения в формулу периметра:

$14 + b + \frac{3}{5}b = 30$

$14 + \frac{8}{5}b = 30$

$\frac{8}{5}b = 30 - 14$

$\frac{8}{5}b = 16$

$b = 16 \times \frac{5}{8}$

$b = 2 \times 5 = 10$ см

Тогда $c = \frac{3}{5} \times 10 = 6$ см.

Теперь у нас есть все три стороны треугольника: $a=14$ см, $b=10$ см, $c=6$ см.

Для нахождения угла $\alpha$, противолежащего стороне $a$, используем теорему косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

$14^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \times 10 \times 6 \cos \alpha$

$196 = 100 + 36 - 120 \cos \alpha$

$196 = 136 - 120 \cos \alpha$

$120 \cos \alpha = 136 - 196$

$120 \cos \alpha = -60$

$\cos \alpha = -\frac{60}{120}$

$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$

Следовательно, $\alpha = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

б)

Дано:

Сторона $a = 10$ см.

Противолежащий угол $\alpha = 45^\circ$.

Площадь треугольника $S = 8$ см$^2$.

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

$S = 8 \text{ см}^2 = 8 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 8 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Периметр треугольника $P$.

Решение:

Пусть стороны треугольника будут $a$, $b$, и $c$. Угол $\alpha$ противолежит стороне $a$.

Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$8 = \frac{1}{2}bc \sin 45^\circ$

$8 = \frac{1}{2}bc \frac{\sqrt{2}}{2}$

$8 = \frac{bc\sqrt{2}}{4}$

$32 = bc\sqrt{2}$

$bc = \frac{32}{\sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}$

Теперь используем теорему косинусов для стороны $a$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

Подставим известные значения:

$10^2 = b^2 + c^2 - 2(16\sqrt{2}) \cos 45^\circ$

$100 = b^2 + c^2 - 2(16\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

$100 = b^2 + c^2 - 16 \times 2$

$100 = b^2 + c^2 - 32$

$b^2 + c^2 = 100 + 32$

$b^2 + c^2 = 132$

Периметр треугольника $P = a + b + c$. Мы знаем $a=10$ см. Нам нужно найти $b+c$.

Используем алгебраическое тождество $(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc$:

$(b+c)^2 = 132 + 2(16\sqrt{2})$

$(b+c)^2 = 132 + 32\sqrt{2}$

$b+c = \sqrt{132 + 32\sqrt{2}}$

Упростим выражение под корнем. Воспользуемся формулой $\sqrt{X \pm \sqrt{Y}} = \sqrt{\frac{X+Z}{2}} \pm \sqrt{\frac{X-Z}{2}}$, где $Z = \sqrt{X^2-Y}$. В нашем случае $\sqrt{132 + 32\sqrt{2}} = \sqrt{132 + \sqrt{32^2 \times 2}} = \sqrt{132 + \sqrt{1024 \times 2}} = \sqrt{132 + \sqrt{2048}}$.

Здесь $X=132$, $Y=2048$. Найдем $Z = \sqrt{132^2 - 2048} = \sqrt{17424 - 2048} = \sqrt{15376} = 124$.

Тогда $b+c = \sqrt{\frac{132+124}{2}} + \sqrt{\frac{132-124}{2}}$

$b+c = \sqrt{\frac{256}{2}} + \sqrt{\frac{8}{2}}$

$b+c = \sqrt{128} + \sqrt{4}$

$b+c = \sqrt{64 \times 2} + 2$

$b+c = 8\sqrt{2} + 2$

Теперь найдем периметр:

$P = a + (b+c)$

$P = 10 + (8\sqrt{2} + 2)$

$P = 12 + 8\sqrt{2}$ см

Ответ: $(12 + 8\sqrt{2})$ см

246. Найдите угол между диагоналями четырехугольника, если суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Дано

Четырехугольник $ABCD$.

Стороны: $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$.

Диагонали: $AC=d_1$, $BD=d_2$.

Условие: суммы квадратов противоположных сторон равны, то есть $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$.

Найти:

Угол $\phi$ между диагоналями $AC$ и $BD$.

Решение

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим длины отрезков диагоналей: $AO=x$, $BO=y$, $CO=z$, $DO=w$. Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \phi$. Тогда углы, образованные диагоналями в точке пересечения, будут: $\angle AOB = \phi$, $\angle BOC = 180^\circ - \phi$, $\angle COD = \phi$, $\angle DOA = 180^\circ - \phi$.

Применим теорему косинусов для каждой из четырех треугольников, образованных диагоналями:

Для $\triangle AOB$:

$a^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos\phi$

Для $\triangle BOC$:

$b^2 = y^2 + z^2 - 2yz \cos(180^\circ - \phi)$

Так как $\cos(180^\circ - \phi) = -\cos\phi$, то:

$b^2 = y^2 + z^2 + 2yz \cos\phi$

Для $\triangle COD$:

$c^2 = z^2 + w^2 - 2zw \cos\phi$

Для $\triangle DOA$:

$d^2 = w^2 + x^2 - 2wx \cos(180^\circ - \phi)$

Так как $\cos(180^\circ - \phi) = -\cos\phi$, то:

$d^2 = w^2 + x^2 + 2wx \cos\phi$

Согласно условию задачи, суммы квадратов противоположных сторон равны: $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$.

Подставим полученные выражения для квадратов сторон в это равенство:

$(x^2 + y^2 - 2xy \cos\phi) + (z^2 + w^2 - 2zw \cos\phi) = (y^2 + z^2 + 2yz \cos\phi) + (w^2 + x^2 + 2wx \cos\phi)$

Упростим это уравнение. Члены $x^2$, $y^2$, $z^2$, $w^2$ присутствуют с одинаковым знаком по обе стороны уравнения, поэтому они сокращаются:

$- 2xy \cos\phi - 2zw \cos\phi = 2yz \cos\phi + 2wx \cos\phi$

Разделим обе части уравнения на 2:

$- xy \cos\phi - zw \cos\phi = yz \cos\phi + wx \cos\phi$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$- xy \cos\phi - zw \cos\phi - yz \cos\phi - wx \cos\phi = 0$

Вынесем $\cos\phi$ за скобки:

$\cos\phi (-xy - zw - yz - wx) = 0$

Или, умножив на $-1$:

$- \cos\phi (xy + zw + yz + wx) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $x, y, z, w$ — это длины отрезков, они являются положительными числами. Следовательно, их сумма произведений $(xy + zw + yz + wx)$ всегда будет положительной и не может быть равна нулю.

Значит, единственная возможность для равенства нулю — это $\cos\phi = 0$.

Если $\cos\phi = 0$, то угол $\phi$ равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).

Ответ:

Угол между диагоналями равен $90^\circ$.