Номер 245, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

245. а) Периметр треугольника равен 30 см. Найдите угол, противолежащий стороне, равной 14 см, если биссектриса треугольника делит ее в отношении 3 : 5.

б) Найдите периметр треугольника, в котором сторона равна 10 см, противолежащий ей угол – $45^\circ$, а его площадь – $8\text{ см}^2$.

а)

Дано:

Периметр треугольника $P = 30$ см.

Сторона $a = 14$ см.

Биссектриса делит сторону $a$ в отношении $3:5$.

Перевод в СИ:

$P = 30 \text{ см} = 0.30 \text{ м}$

$a = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Найти:

Угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$.

Решение:

Пусть стороны треугольника будут $a$, $b$, и $c$. Задана сторона $a=14$ см. Периметр $P = a+b+c = 30$ см.

Биссектриса угла, противолежащего стороне $a$, делит эту сторону на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих сторон. Если биссектриса угла $A$ делит сторону $a$ (которую обозначим $BC$) на отрезки $BD$ и $DC$, то по теореме о биссектрисе угла треугольника имеем: $\frac{c}{b} = \frac{BD}{DC}$.

Дано, что биссектриса делит сторону $a$ в отношении $3:5$. Пусть $BD:DC = 3:5$.

Так как $BD + DC = a = 14$ см, и $BD = 3k$, $DC = 5k$ для некоторого $k$, то:

$3k + 5k = 14$

$8k = 14$

$k = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

Тогда $BD = 3 \times \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$ см, и $DC = 5 \times \frac{7}{4} = \frac{35}{4}$ см.

Из теоремы о биссектрисе: $\frac{c}{b} = \frac{3}{5}$, что означает $c = \frac{3}{5}b$.

Подставим известные значения в формулу периметра:

$14 + b + \frac{3}{5}b = 30$

$14 + \frac{8}{5}b = 30$

$\frac{8}{5}b = 30 - 14$

$\frac{8}{5}b = 16$

$b = 16 \times \frac{5}{8}$

$b = 2 \times 5 = 10$ см

Тогда $c = \frac{3}{5} \times 10 = 6$ см.

Теперь у нас есть все три стороны треугольника: $a=14$ см, $b=10$ см, $c=6$ см.

Для нахождения угла $\alpha$, противолежащего стороне $a$, используем теорему косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

$14^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \times 10 \times 6 \cos \alpha$

$196 = 100 + 36 - 120 \cos \alpha$

$196 = 136 - 120 \cos \alpha$

$120 \cos \alpha = 136 - 196$

$120 \cos \alpha = -60$

$\cos \alpha = -\frac{60}{120}$

$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$

Следовательно, $\alpha = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

б)

Дано:

Сторона $a = 10$ см.

Противолежащий угол $\alpha = 45^\circ$.

Площадь треугольника $S = 8$ см$^2$.

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

$S = 8 \text{ см}^2 = 8 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 8 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Периметр треугольника $P$.

Решение:

Пусть стороны треугольника будут $a$, $b$, и $c$. Угол $\alpha$ противолежит стороне $a$.

Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$8 = \frac{1}{2}bc \sin 45^\circ$

$8 = \frac{1}{2}bc \frac{\sqrt{2}}{2}$

$8 = \frac{bc\sqrt{2}}{4}$

$32 = bc\sqrt{2}$

$bc = \frac{32}{\sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}$

Теперь используем теорему косинусов для стороны $a$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

Подставим известные значения:

$10^2 = b^2 + c^2 - 2(16\sqrt{2}) \cos 45^\circ$

$100 = b^2 + c^2 - 2(16\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

$100 = b^2 + c^2 - 16 \times 2$

$100 = b^2 + c^2 - 32$

$b^2 + c^2 = 100 + 32$

$b^2 + c^2 = 132$

Периметр треугольника $P = a + b + c$. Мы знаем $a=10$ см. Нам нужно найти $b+c$.

Используем алгебраическое тождество $(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc$:

$(b+c)^2 = 132 + 2(16\sqrt{2})$

$(b+c)^2 = 132 + 32\sqrt{2}$

$b+c = \sqrt{132 + 32\sqrt{2}}$

Упростим выражение под корнем. Воспользуемся формулой $\sqrt{X \pm \sqrt{Y}} = \sqrt{\frac{X+Z}{2}} \pm \sqrt{\frac{X-Z}{2}}$, где $Z = \sqrt{X^2-Y}$. В нашем случае $\sqrt{132 + 32\sqrt{2}} = \sqrt{132 + \sqrt{32^2 \times 2}} = \sqrt{132 + \sqrt{1024 \times 2}} = \sqrt{132 + \sqrt{2048}}$.

Здесь $X=132$, $Y=2048$. Найдем $Z = \sqrt{132^2 - 2048} = \sqrt{17424 - 2048} = \sqrt{15376} = 124$.

Тогда $b+c = \sqrt{\frac{132+124}{2}} + \sqrt{\frac{132-124}{2}}$

$b+c = \sqrt{\frac{256}{2}} + \sqrt{\frac{8}{2}}$

$b+c = \sqrt{128} + \sqrt{4}$

$b+c = \sqrt{64 \times 2} + 2$

$b+c = 8\sqrt{2} + 2$

Теперь найдем периметр:

$P = a + (b+c)$

$P = 10 + (8\sqrt{2} + 2)$

$P = 12 + 8\sqrt{2}$ см

Ответ: $(12 + 8\sqrt{2})$ см