Вопросы, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Решение треугольников. III. Решение треугольников - страница 111.

Условие.

ВОПРОСЫ

1. Что называют решением треугольника?

2. Объясните способ решения треугольника по его данным: а) стороне и двум углам; б) двум сторонам и углу; в) трем сторонам.

Решение.

Решение 2.

1. Что называют решением треугольника?

Решением треугольника называют процесс определения значений всех его неизвестных элементов (сторон и углов) по известным трем элементам, среди которых хотя бы один является стороной.

Ответ: Решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных сторон и углов по трём заданным элементам, один из которых обязательно является стороной.

2. Объясните способ решения треугольника по его данным:

а) стороне и двум углам

Данный случай соответствует ситуациям, когда известна одна сторона и два угла треугольника. Это может быть либо угол-сторона-угол (АСА), либо сторона-угол-угол (ААС).

Решение

1. Поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$, третий угол находится вычитанием суммы двух известных углов из $180^\circ$. Например, если известны углы $\alpha$ и $\beta$, то $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

2. Затем, используя теорему синусов, можно найти две оставшиеся стороны. Теорема синусов гласит: $a / \sin \alpha = b / \sin \beta = c / \sin \gamma$.

Если известна сторона $a$, то стороны $b$ и $c$ можно найти так:

$b = a \cdot (\sin \beta / \sin \alpha)$

$c = a \cdot (\sin \gamma / \sin \alpha)$

Ответ: При известной стороне и двум углам, третий угол находится из свойства суммы углов треугольника, а затем две оставшиеся стороны вычисляются с помощью теоремы синусов.

б) двум сторонам и углу

Этот случай может быть двух типов: когда угол находится между двумя известными сторонами (САС) или когда угол не находится между двумя известными сторонами (ССА, так называемый "амбигусный случай").

Решение

Случай 1: Угол между двумя сторонами (например, известны стороны $a, b$ и угол $\gamma$)

1. Третья сторона $c$ находится с помощью теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

2. Один из оставшихся углов, например $\alpha$, можно найти, используя теорему косинусов:

$\cos \alpha = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)$

Или используя теорему синусов: $\sin \alpha = (a \sin \gamma) / c$. Для избежания неоднозначности с синусом (поскольку $\sin x = \sin (180^\circ - x)$), предпочтительнее использовать теорему косинусов для нахождения угла, если это не самый большой угол.

3. Третий угол $\beta$ находится из свойства суммы углов треугольника: $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$.

Случай 2: Угол не между двумя сторонами (например, известны стороны $a, b$ и угол $\alpha$)

Этот случай является "амбигусным", так как может существовать одно, два или ни одного треугольника с заданными параметрами.

1. Используется теорема синусов для нахождения угла $\beta$:

$\sin \beta = (b \sin \alpha) / a$

2. Анализируется значение $\sin \beta$:

- Если $(b \sin \alpha) / a > 1$, то решения нет (такой треугольник не существует).

- Если $(b \sin \alpha) / a = 1$, то $\beta = 90^\circ$ (одно решение - прямоугольный треугольник).

- Если $(b \sin \alpha) / a < 1$:

- Если $a \geq b$, то существует только одно решение для $\beta$ (острый угол).

- Если $a < b$, то может существовать два решения для $\beta$: $\beta_1$ (острый угол) и $\beta_2 = 180^\circ - \beta_1$ (тупой угол). Для каждого из этих значений $\beta$ далее находятся соответствующие $\gamma$ и $c$. Если $\alpha + \beta_2 \geq 180^\circ$, то второе решение недействительно.

3. После определения возможных значений угла $\beta$, находится третий угол $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

4. Затем третья сторона $c$ находится с помощью теоремы синусов:

$c = a \cdot (\sin \gamma / \sin \alpha)$

Ответ: При известных двух сторонах и угле, решение зависит от положения угла. Если угол между сторонами, используются теорема косинусов для третьей стороны и затем теорема косинусов или синусов для углов. Если угол не между сторонами, применяется теорема синусов, что может привести к одному, двум или ни одному решению (амбигусный случай).

в) трем сторонам

Данный случай подразумевает, что известны длины всех трех сторон треугольника ($a, b, c$).

Решение

1. Прежде чем приступать к вычислениям, необходимо проверить условие существования треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны (неравенство треугольника):

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, треугольник с такими сторонами не существует.

2. Если треугольник существует, для нахождения любого угла используется теорема косинусов. Например, для угла $\alpha$:

$\cos \alpha = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)$

Для угла $\beta$:

$\cos \beta = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)$

Рекомендуется начинать с угла, лежащего напротив самой длинной стороны, так как это позволит однозначно определить, является ли этот угол тупым или острым (косинус тупого угла отрицателен).

3. Третий угол $\gamma$ находится из свойства суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Ответ: При известных трех сторонах, сначала проверяется неравенство треугольника. Если треугольник существует, все углы находятся с помощью теоремы косинусов, а затем третий угол — из суммы углов треугольника.