Номер 253, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

253. a) В прямоугольном $\Delta ABC$ $\angle A = 15^\circ$, $AC = \sqrt{3}$ дм. Из вершины прямого угла C проведена биссектриса $CL$. Найдите отрезок $AL$.

б) В $\Delta ABC$ $\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, $AC = 6$ см. Найдите с точностью до 0,1 см его биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$.

а)

Дано:

$ \triangle ABC $ - прямоугольный, $ \angle C = 90^\circ $

$ \angle A = 15^\circ $

$ AC = \sqrt{3} $ дм

$ CL $ - биссектриса $ \angle C $

Перевод в СИ:

$ AC = \sqrt{3} \cdot 0.1 $ м

Найти:

$ AL $

Решение:

1. В прямоугольном $ \triangle ABC $ сумма острых углов равна $ 90^\circ $. Следовательно, $ \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ $.

2. Поскольку $ CL $ является биссектрисой прямого угла $ C $, она делит его на два равных угла: $ \angle ACL = \angle BCL = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

3. Рассмотрим треугольник $ \triangle ACL $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $. Зная углы $ \angle A = 15^\circ $ и $ \angle ACL = 45^\circ $, найдем третий угол $ \angle ALC $:

$ \angle ALC = 180^\circ - \angle A - \angle ACL = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ $.

4. Применим теорему синусов к треугольнику $ \triangle ACL $:

$ \frac{AL}{\sin(\angle ACL)} = \frac{AC}{\sin(\angle ALC)} $

Выразим отрезок $ AL $:

$ AL = AC \cdot \frac{\sin(\angle ACL)}{\sin(\angle ALC)} $

5. Подставим известные значения углов и длины $ AC $:

$ AL = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(120^\circ)} $

6. Известные значения синусов:

$ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

7. Подставим эти значения в выражение для $ AL $:

$ AL = \sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} $ дм.

Ответ: $ AL = \sqrt{2} $ дм.

б)

Дано:

$ \triangle ABC $

$ \angle A = 60^\circ $

$ \angle C = 30^\circ $

$ AC = 6 $ см

$ AA_1 $ - биссектриса $ \angle A $

$ BB_1 $ - биссектриса $ \angle B $

Перевод в СИ:

$ AC = 0.06 $ м

Найти:

$ AA_1 $, $ BB_1 $ с точностью до 0.1 см.

Решение:

1. Найдем величину угла $ \angle B $ в треугольнике $ \triangle ABC $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $:

$ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ $.

Таким образом, $ \triangle ABC $ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $ B $.

Нахождение $ AA_1 $:

2. $ AA_1 $ является биссектрисой угла $ \angle A $. Следовательно, $ \angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $.

3. Рассмотрим треугольник $ \triangle ACA_1 $. Известны две стороны и два угла: $ AC = 6 $ см, $ \angle C = 30^\circ $ и $ \angle CAA_1 = 30^\circ $.

4. Поскольку $ \angle C = \angle CAA_1 = 30^\circ $, треугольник $ \triangle ACA_1 $ является равнобедренным, и сторона $ AA_1 $ равна стороне $ CA_1 $.

5. Найдем третий угол $ \angle AA_1C $ в треугольнике $ \triangle ACA_1 $:

$ \angle AA_1C = 180^\circ - \angle C - \angle CAA_1 = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ $.

6. Применим теорему синусов к треугольнику $ \triangle ACA_1 $:

$ \frac{AA_1}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle AA_1C)} $

Выразим $ AA_1 $:

$ AA_1 = AC \cdot \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle AA_1C)} = 6 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} $

7. Известные значения синусов:

$ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $

$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

8. Подставим эти значения в выражение для $ AA_1 $:

$ AA_1 = 6 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $ см.

9. Вычислим значение с точностью до 0.1 см:

$ AA_1 \approx 2 \cdot 1.73205 = 3.4641 $ см.

Округляем до 0.1 см: $ AA_1 \approx 3.5 $ см.

Нахождение $ BB_1 $:

10. $ BB_1 $ является биссектрисой угла $ \angle B $. Поскольку $ \angle B = 90^\circ $, то $ \angle ABB_1 = \angle CBB_1 = \frac{\angle B}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

11. В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABC $, найдем длину стороны $ AB $. Мы можем использовать косинус угла $ A $:

$ AB = AC \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

12. Рассмотрим треугольник $ \triangle ABB_1 $. Известны сторона $ AB = 3 $ см, угол $ \angle A = 60^\circ $ и угол $ \angle ABB_1 = 45^\circ $.

13. Найдем третий угол $ \angle AB_1B $ в треугольнике $ \triangle ABB_1 $:

$ \angle AB_1B = 180^\circ - \angle A - \angle ABB_1 = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ $.

14. Применим теорему синусов к треугольнику $ \triangle ABB_1 $:

$ \frac{BB_1}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle AB_1B)} $

Выразим $ BB_1 $:

$ BB_1 = AB \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle AB_1B)} = 3 \cdot \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(75^\circ)} $

15. Известные значения синусов:

$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) $

$ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

16. Подставим эти значения в выражение для $ BB_1 $:

$ BB_1 = 3 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 3 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $

17. Для упрощения выражения и удаления иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{6} - \sqrt{2}) $:

$ BB_1 = \frac{6\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{6} - 6\sqrt{3}\sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6\sqrt{18} - 6\sqrt{6}}{6 - 2} $

$ = \frac{6 \cdot 3\sqrt{2} - 6\sqrt{6}}{4} = \frac{18\sqrt{2} - 6\sqrt{6}}{4} = \frac{9\sqrt{2} - 3\sqrt{6}}{2} $ см.

18. Вычислим значение с точностью до 0.1 см:

$ \sqrt{2} \approx 1.41421 $

$ \sqrt{6} \approx 2.44949 $

$ BB_1 \approx \frac{9 \cdot 1.41421 - 3 \cdot 2.44949}{2} = \frac{12.72789 - 7.34847}{2} = \frac{5.37942}{2} = 2.68971 $ см.

Округляем до 0.1 см: $ BB_1 \approx 2.7 $ см.

Ответ: $ AA_1 \approx 3.5 $ см, $ BB_1 \approx 2.7 $ см.