Номер 254, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

254. В треугольнике $ABC$ $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $AC = 3 \text{ см}$. Найдите величину острого угла между медианами $CC_1$ и $AA_1$.

Дано

В треугольнике $ABC$: $AB = 5$ см, $BC = 4$ см, $AC = 3$ см. $CC_1$ и $AA_1$ - медианы.

Перевод в СИ

$AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$BC = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$AC = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти

Величину острого угла между медианами $CC_1$ и $AA_1$.

Решение

1. Определим тип треугольника $ABC$. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$AB^2 = 5^2 = 25$.
Так как $AC^2 + BC^2 = AB^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle C = 90^\circ $).

2. Разместим треугольник в декартовой системе координат для удобства вычислений. Пусть вершина $C$ находится в начале координат $(0,0)$. Так как $AC$ лежит на оси Y и $BC$ на оси X (или наоборот), то координаты вершин будут: $C(0,0)$, $A(0,3)$, $B(4,0)$.

3. Найдем координаты середин сторон, к которым проведены медианы. $A_1$ - середина стороны $BC$. Ее координаты: $A_1 = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2,0)$.
$C_1$ - середина стороны $AB$. Ее координаты: $C_1 = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right) = (2, 1.5)$.

4. Определим векторы медиан $AA_1$ и $CC_1$. Вектор медианы $AA_1$: $\vec{AA_1} = A_1 - A = (2-0, 0-3) = (2, -3)$.
Вектор медианы $CC_1$: $\vec{CC_1} = C_1 - C = (2-0, 1.5-0) = (2, 1.5)$.

5. Найдем длины этих векторов (длины медиан). $|\vec{AA_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
$|\vec{CC_1}| = \sqrt{2^2 + (1.5)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$.

6. Найдем косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ с помощью формулы скалярного произведения: $\cos \theta = \frac{\vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1}}{|\vec{AA_1}| |\vec{CC_1}|}$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1} = (2)(2) + (-3)(1.5) = 4 - 4.5 = -0.5$.
Теперь подставим значения в формулу для косинуса: $\cos \theta = \frac{-0.5}{\sqrt{13} \cdot 2.5} = \frac{-1/2}{\sqrt{13} \cdot 5/2} = \frac{-1}{5\sqrt{13}}$.

7. Поскольку $\cos \theta$ получился отрицательным, это означает, что угол $\theta$ между векторами является тупым. В задаче требуется найти величину острого угла между медианами. Если один угол между прямыми тупой, то смежный с ним угол будет острым. Косинус острого угла $\phi$ равен абсолютному значению косинуса тупого угла: $\cos \phi = |\cos \theta| = \left| \frac{-1}{5\sqrt{13}} \right| = \frac{1}{5\sqrt{13}}$.
Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$: $\cos \phi = \frac{1 \cdot \sqrt{13}}{5\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{5 \cdot 13} = \frac{\sqrt{13}}{65}$.

8. Таким образом, величина острого угла $\phi$ между медианами $CC_1$ и $AA_1$ равна: $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{65}\right)$.

Ответ:

Величина острого угла между медианами $CC_1$ и $AA_1$ равна $\arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{65}\right)$.