Номер 252, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

252. Постройте равнобедренный треугольник, измерьте его стороны. Найдите с точностью до 0,1 косинус угла при его вершине и синус угла при основании.

Для решения задачи, требующей построения и измерения, мы будем использовать условные значения сторон равнобедренного треугольника, так как физическое построение невозможно. Предполагаем, что измерения были выполнены с необходимой точностью.

Дано:

Равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и основанием $b$.

Пусть в результате измерения получены следующие значения:

$a = 5 \text{ см}$

$b = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Косинус угла при вершине ($\cos \alpha$) с точностью до 0,1.

Синус угла при основании ($\sin \beta$) с точностью до 0,1.

Решение:

косинус угла при его вершине

Для нахождения косинуса угла при вершине ($\alpha$) равнобедренного треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Если боковые стороны равны $a$, а основание $b$, то:

$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos \alpha$

$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos \alpha$

Выразим $\cos \alpha$ из уравнения:

$2a^2 \cos \alpha = 2a^2 - b^2$

$\cos \alpha = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2} = 1 - \frac{b^2}{2a^2}$

Подставим условные значения $a = 5 \text{ см}$ и $b = 6 \text{ см}$:

$\cos \alpha = 1 - \frac{6^2}{2 \cdot 5^2} = 1 - \frac{36}{2 \cdot 25} = 1 - \frac{36}{50} = 1 - 0.72 = 0.28$

Округлим полученное значение до точности 0,1:

$\cos \alpha \approx 0.3$

Ответ:

Ответ: $0.3$

синус угла при основании

Для нахождения синуса угла при основании ($\beta$) опустим высоту $h$ из вершины на основание. В равнобедренном треугольнике эта высота является медианой, поэтому она делит основание пополам ($b/2$) и образует два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его катеты равны $h$ и $b/2$, а гипотенуза равна $a$.

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $h$:

$h^2 + (b/2)^2 = a^2$

$h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2}$

Подставим условные значения $a = 5 \text{ см}$ и $b = 6 \text{ см}$:

$h = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$

Теперь найдем синус угла $\beta$ (угла при основании) как отношение противолежащего катета (высоты $h$) к гипотенузе ($a$) в прямоугольном треугольнике:

$\sin \beta = \frac{h}{a}$

$\sin \beta = \frac{4}{5} = 0.8$

Значение $0.8$ уже соответствует требуемой точности до 0.1.

Ответ:

Ответ: $0.8$