Номер 239, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

239. a) Участок земли имеет форму выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB = 10$ м, $AD = 9$ м, $BC = CD$, $\angle B = 105^\circ$, $\angle D = 135^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 м² площадь этого участка.

б) В $\triangle ABC$ $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$, $\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$. Найдите косинус угла C.

а)

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ выпуклый.

$AB = 10 \text{ м}$

$AD = 9 \text{ м}$

$BC = CD$

$\angle B = 105^\circ$

$\angle D = 135^\circ$

Найти:

Площадь $S_{ABCD}$ с точностью до $0.1 \text{ м}^2$.

Решение:

Обозначим $BC = CD = x$.

Применим теорему косинусов для диагонали $AC$ в $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \cos(105^\circ)$

$AC^2 = 100 + x^2 - 20x \cos(105^\circ)$

Применим теорему косинусов для диагонали $AC$ в $\triangle ADC$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 9^2 + x^2 - 2 \cdot 9 \cdot x \cdot \cos(135^\circ)$

$AC^2 = 81 + x^2 - 18x \cos(135^\circ)$

Приравняем выражения для $AC^2$:

$100 + x^2 - 20x \cos(105^\circ) = 81 + x^2 - 18x \cos(135^\circ)$

$100 - 20x \cos(105^\circ) = 81 - 18x \cos(135^\circ)$

$19 = 20x \cos(105^\circ) - 18x \cos(135^\circ)$

$19 = x(20 \cos(105^\circ) - 18 \cos(135^\circ))$

Найдем значения косинусов:

$\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos(60^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения:

$19 = x \left( 20 \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} - 18 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right)$

$19 = x \left( 5(\sqrt{2} - \sqrt{6}) + 9\sqrt{2} \right)$

$19 = x \left( 5\sqrt{2} - 5\sqrt{6} + 9\sqrt{2} \right)$

$19 = x \left( 14\sqrt{2} - 5\sqrt{6} \right)$

$x = \frac{19}{14\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}$

Площадь четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot x \cdot \sin(105^\circ) = 5x \sin(105^\circ)$

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin(\angle D) = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot x \cdot \sin(135^\circ) = 4.5x \sin(135^\circ)$

Найдем значения синусов:

$\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения в формулы площадей:

$S_{ABCD} = 5x \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) + 4.5x \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

$S_{ABCD} = x \left( \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} + \frac{9\sqrt{2}}{4} \right)$

$S_{ABCD} = \frac{x}{4} \left( 5\sqrt{6} + 5\sqrt{2} + 9\sqrt{2} \right)$

$S_{ABCD} = \frac{x}{4} \left( 5\sqrt{6} + 14\sqrt{2} \right)$

Подставим выражение для $x$:

$S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot \frac{19}{14\sqrt{2} - 5\sqrt{6}} \cdot (14\sqrt{2} + 5\sqrt{6})$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{14\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{14\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $14\sqrt{2} + 5\sqrt{6}$:

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{(14\sqrt{2} + 5\sqrt{6})^2}{(14\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{6})^2}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{(14^2 \cdot 2) + 2 \cdot 14\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{6} + (5^2 \cdot 6)}{(14^2 \cdot 2) - (5^2 \cdot 6)}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{392 + 140\sqrt{12} + 150}{392 - 150}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{542 + 140 \cdot 2\sqrt{3}}{242}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{542 + 280\sqrt{3}}{242}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{2(271 + 140\sqrt{3})}{242}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{2} \cdot \frac{271 + 140\sqrt{3}}{242}$

$S_{ABCD} = \frac{19(271 + 140\sqrt{3})}{484}$

Вычислим численное значение:

$\sqrt{3} \approx 1.7320508$

$140\sqrt{3} \approx 140 \cdot 1.7320508 = 242.487112$

$271 + 140\sqrt{3} \approx 271 + 242.487112 = 513.487112$

$19(271 + 140\sqrt{3}) \approx 19 \cdot 513.487112 = 9756.255128$

$S_{ABCD} \approx \frac{9756.255128}{484} \approx 20.1575519$

Округлим до $0.1 \text{ м}^2$:

$S_{ABCD} \approx 20.2 \text{ м}^2$

Ответ: 20.2 м$^2$

б)

Дано:

В $\triangle ABC$:

$\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$

$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$

Найти:

$\cos(\angle C)$

Решение:

Упростим данные соотношения:

$\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Пусть $AB = k$. Тогда $BC = k \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $AC = k \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Применим теорему косинусов для угла $C$ в $\triangle ABC$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

$k^2 = \left(k \frac{\sqrt{6}}{6}\right)^2 + \left(k \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(k \frac{\sqrt{6}}{6}\right) \cdot \left(k \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \cos(\angle C)$

$k^2 = k^2 \left(\frac{6}{36}\right) + k^2 \left(\frac{2}{4}\right) - 2 k^2 \left(\frac{\sqrt{12}}{12}\right) \cos(\angle C)$

Разделим обе части уравнения на $k^2$ (поскольку $k \ne 0$):

$1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - 2 \frac{2\sqrt{3}}{12} \cos(\angle C)$

$1 = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} - \frac{4\sqrt{3}}{12} \cos(\angle C)$

$1 = \frac{4}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\angle C)$

$1 = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\angle C)$

$1 - \frac{2}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\angle C)$

$\frac{1}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\angle C)$

Умножим обе части на 3:

$1 = -\sqrt{3} \cos(\angle C)$

$\cos(\angle C) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cos(\angle C) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$