Номер 228, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

228. a) В $\triangle ABC$ $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$. Найдите отношение $(a : b : c)$ сторон треугольника.

б) Найдите отношение сторон треугольника, выраженное трех-значными числами, если его углы относятся как $3 : 4 : 8$.

а) В $\triangle ABC \angle A = 30^\circ, \angle B = 60^\circ$. Найдите отношение $(a : b : c)$ сторон треугольника.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$.

$\angle A = 30^\circ$.

$\angle B = 60^\circ$.

Найти:

Отношение сторон $(a : b : c)$.

Решение:

1. Найдем величину угла $\angle C$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

$\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

2. По теореме синусов, отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Следовательно, $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.

3. Вычислим значения синусов для найденных углов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 90^\circ = 1$

4. Подставим эти значения в отношение:

$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$

5. Умножим все части отношения на 2, чтобы получить целые числа и упростить его:

$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$

Ответ: $1 : \sqrt{3} : 2$.

б) Найдите отношение сторон треугольника, выраженное трехзначными числами, если его углы относятся как $3 : 4 : 8$.

Дано:

Отношение углов треугольника $\angle A : \angle B : \angle C = 3 : 4 : 8$.

Найти:

Отношение сторон $a : b : c$, выраженное трехзначными числами.

Решение:

1. Пусть углы треугольника равны $3x, 4x, 8x$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.

$3x + 4x + 8x = 180^\circ$

$15x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ$

2. Вычислим величины каждого угла:

$\angle A = 3x = 3 \times 12^\circ = 36^\circ$

$\angle B = 4x = 4 \times 12^\circ = 48^\circ$

$\angle C = 8x = 8 \times 12^\circ = 96^\circ$

3. По теореме синусов, отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих углов:

$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$

$a : b : c = \sin 36^\circ : \sin 48^\circ : \sin 96^\circ$

4. Вычислим приближенные значения синусов (используя 6-7 знаков после запятой для достаточной точности перед округлением):

$\sin 36^\circ \approx 0.587785$

$\sin 48^\circ \approx 0.743145$

$\sin 96^\circ \approx 0.994522$

5. Отношение сторон приблизительно равно:

$a : b : c \approx 0.587785 : 0.743145 : 0.994522$

6. Для того чтобы выразить это отношение трехзначными числами, умножим каждое значение на $1000$ (чтобы сместить десятичную точку) и округлим до ближайшего целого числа:

$0.587785 \times 1000 \approx 587.785 \approx 588$

$0.743145 \times 1000 \approx 743.145 \approx 743$

$0.994522 \times 1000 \approx 994.522 \approx 995$

Таким образом, отношение сторон, выраженное трехзначными числами, составляет $588 : 743 : 995$.

Ответ: $588 : 743 : 995$.