Страница 96 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

205. На стороне $AB$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$. Найдите отрезки, на которые делится диагональ $AC$ отрезком $MD$, если $AC = 16$ см.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Точка $M$ на стороне $AB$ такая, что $AM : MB = 1 : 2$.

Диагональ $AC = 16$ см.

Перевод в СИ:

Так как задача геометрическая и все длины даны в сантиметрах, перевод в систему СИ (метры) не является строго необходимым для получения корректного ответа в сантиметрах. Однако, для полноты представления:

$AC = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$.

Найти:

Длины отрезков, на которые делится диагональ $AC$ отрезком $MD$. Пусть точка пересечения $AC$ и $MD$ будет $O$. Требуется найти $AO$ и $OC$.

Решение:

Пусть $O$ - точка пересечения диагонали $AC$ и отрезка $MD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle CDO$.

Поскольку $ABCD$ - параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, то отрезок $AM$ также параллелен стороне $CD$ ($AM \parallel CD$).

Теперь рассмотрим углы в этих двух треугольниках:

• Углы $\angle MAO$ и $\angle DCO$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle MAO = \angle DCO$.
• Углы $\angle AMO$ и $\angle CDO$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $MD$. Следовательно, $\angle AMO = \angle CDO$.
• Углы $\angle AOM$ и $\angle COD$ являются вертикальными углами. Следовательно, $\angle AOM = \angle COD$.

Поскольку все соответствующие углы треугольников $\triangle AMO$ и $\triangle CDO$ равны, эти треугольники подобны по трем углам (AAA признак подобия).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AO}{OC} = \frac{AM}{CD} = \frac{MO}{OD}$

По условию задачи, $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что если $AM = x$, то $MB = 2x$.

Длина стороны $AB$ параллелограмма равна $AM + MB = x + 2x = 3x$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 3x$.

Теперь подставим выражения для $AM$ и $CD$ в отношение сторон из подобия треугольников:

$\frac{AO}{OC} = \frac{AM}{CD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$

Это означает, что диагональ $AC$ делится точкой $O$ в отношении $1:3$. Пусть $AO = k$ и $OC = 3k$ для некоторой постоянной $k$.

По условию задачи, длина всей диагонали $AC = 16$ см.

Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то $AC = AO + OC$.

Подставим известные значения:

$16 = k + 3k$

$16 = 4k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $4$:

$k = \frac{16}{4} = 4 \text{ см}$

Теперь найдем длины отрезков $AO$ и $OC$:

$AO = k = 4 \text{ см}$

$OC = 3k = 3 \times 4 = 12 \text{ см}$

Ответ:

Отрезки, на которые делится диагональ $AC$ отрезком $MD$, равны $4$ см и $12$ см.

206. В $\triangle ABC$ вписан параллелограмм $AMNP$ так, что точки $M, N, P$ лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно. Известно, что $AB = 6 \text{ см}$, $AC = 8 \text{ см}$ и $MN : NP = 2 : 1$. Найдите периметр параллелограмма.

Дано:
$\triangle ABC$
Параллелограмм $AMNP$ вписан в $\triangle ABC$.
Точки $M, N, P$ лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно.
$AB = 6 \text{ см}$
$AC = 8 \text{ см}$
$MN : NP = 2 : 1$

Перевод в СИ:
$AB = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:
Периметр параллелограмма $AMNP$.

Решение:
Пусть стороны параллелограмма $AMNP$ имеют длины $AM = NP = x$ и $AP = MN = y$.
По условию задачи, отношение сторон $MN : NP = 2 : 1$, что означает $y : x = 2 : 1$. Отсюда следует, что $y = 2x$.
Поскольку $AMNP$ является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $NP$ параллельна $AM$, а значит, $NP \parallel AB$.
Также сторона $MN$ параллельна $AP$, а значит, $MN \parallel AC$.
Рассмотрим треугольник $\triangle NPC$. Поскольку $NP \parallel AB$, треугольник $\triangle NPC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (угол $C$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle CPN$ и $\angle CAB$ равны как соответственные при параллельных прямых $NP$ и $AB$ и секущей $AC$).
Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
$\frac{NP}{AB} = \frac{PC}{AC}$
Мы знаем, что $NP = x$, $AB = 6 \text{ см}$. Длину отрезка $PC$ можно выразить как $AC - AP$. Поскольку $AP = y$, то $PC = 8 - y \text{ см}$.
Подставляем эти значения в пропорцию:
$\frac{x}{6} = \frac{8 - y}{8}$
Теперь подставим $y = 2x$ в это уравнение:
$\frac{x}{6} = \frac{8 - 2x}{8}$
Умножим обе части уравнения на $48$ (наименьшее общее кратное $6$ и $8$) или перемножим крест-накрест:
$8x = 6(8 - 2x)$
$8x = 48 - 12x$
Прибавим $12x$ к обеим сторонам уравнения:
$8x + 12x = 48$
$20x = 48$
Разделим обе стороны на $20$:
$x = \frac{48}{20} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ см}$
Теперь найдем значение $y$, используя $y = 2x$:
$y = 2 \times 2.4 \text{ см} = 4.8 \text{ см}$
Периметр параллелограмма $AMNP$ вычисляется по формуле $P = 2(AM + AP)$ или $P = 2(x + y)$.
$P = 2(2.4 \text{ см} + 4.8 \text{ см})$
$P = 2(7.2 \text{ см})$
$P = 14.4 \text{ см}$

Ответ: $14.4 \text{ см}$

207. В ромб вписан квадрат так, что его вершины лежат на сторонах ромба. Найдите периметр этого квадрата, если сторона ромба равна 8 см, а его острый угол $60^\circ$.

Дано:

Сторона ромба $a = 8 \text{ см}$

Острый угол ромба $\alpha = 60^\circ$

Найти:

Периметр квадрата $P_{кв}$

Решение:

Пусть ромб обозначен $ABCD$, а его острый угол $\angle A = 60^\circ$. Тогда тупой угол $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Пусть в ромб вписан квадрат $PQRS$, где вершины $P$, $Q$, $R$, $S$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Из-за симметрии ромба и вписанного в него квадрата, отрезки, отсекаемые вершинами квадрата от сторон ромба у острых углов, будут равны. То есть, $AP = AS$. Аналогично, $CQ = CR$.

Также, отрезки, отсекаемые у тупых углов, будут равны: $BP = BQ$ и $DR = DS$.

Более того, в силу центральной симметрии, $AP = CQ$ и $AS = CR$. И $BP = DR$ и $BQ = DS$.

Следовательно, все четыре треугольника по углам ромба: $\triangle APS$, $\triangle BPQ$, $\triangle CRQ$, $\triangle DRS$ - конгруэнтны.

Пусть сторона квадрата равна $x$. То есть $PQ = QR = RS = SP = x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APS$. Угол $\angle A = 60^\circ$. Поскольку $\triangle APS$ и $\triangle BPQ$ конгруэнтны, и $PS = PQ = x$, то $AP = AS$ и $BP = BQ$.

Пусть $AP = AS = y$.

Применим теорему косинусов для $\triangle APS$:

$SP^2 = AP^2 + AS^2 - 2 \cdot AP \cdot AS \cdot \cos(\angle A)$

$x^2 = y^2 + y^2 - 2 \cdot y \cdot y \cdot \cos(60^\circ)$

$x^2 = 2y^2 - 2y^2 \cdot \frac{1}{2}$

$x^2 = 2y^2 - y^2$

$x^2 = y^2$

$x = y$ (поскольку длина является положительной величиной).

Таким образом, $AP = AS = x$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BPQ$. Угол $\angle B = 120^\circ$.

Сторона ромба $a = AB = AP + PB = x + PB = 8$. Значит $PB = 8 - x$.

Поскольку $BP = BQ$, то $BQ = 8 - x$.

Применим теорему косинусов для $\triangle BPQ$:

$PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(\angle B)$

$x^2 = (8-x)^2 + (8-x)^2 - 2 \cdot (8-x) \cdot (8-x) \cdot \cos(120^\circ)$

$x^2 = 2(8-x)^2 - 2(8-x)^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x^2 = 2(8-x)^2 + (8-x)^2$

$x^2 = 3(8-x)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \sqrt{3}(8-x)$

$x = 8\sqrt{3} - x\sqrt{3}$

$x + x\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

$x(1 + \sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$

$x = \frac{8\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:

$x = \frac{8\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$

$x = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

$x = \frac{8(3-\sqrt{3})}{3-1}$

$x = \frac{8(3-\sqrt{3})}{2}$

$x = 4(3-\sqrt{3})$ см.

Периметр квадрата $P_{кв}$ равен $4x$.

$P_{кв} = 4 \cdot 4(3-\sqrt{3})$

$P_{кв} = 16(3-\sqrt{3})$ см.

Ответ:

Периметр квадрата $P_{кв} = 16(3-\sqrt{3})$ см.

208. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$, причем $KC : CD = 1 : 3$. Известно, что $AB = 4,5$ см, $CD = 6$ см, $AD = 10$ см и высота $KN$ треугольника $BKS$ равна $1,2$ см. Найдите:

а) стороны $\triangle BKS$;

б) высоту трапеции $ABCD$.

Дано

Трапеция $ABCD$, $AD \parallel BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$.

$KC : CD = 1 : 3$

$AB = 4.5$ см

$CD = 6$ см

$AD = 10$ см

Высота $KN$ треугольника $BKC$ равна $1.2$ см (точка $N$ лежит на стороне $BC$).

Перевод в СИ

$AB = 4.5 \text{ см} = 0.045$ м

$CD = 6 \text{ см} = 0.06$ м

$AD = 10 \text{ см} = 0.1$ м

$KN = 1.2 \text{ см} = 0.012$ м

Найти

а) Стороны $\triangle BKC$

б) Высоту трапеции $ABCD$

Решение

По условию задачи, продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Так как $AD \parallel BC$ (по свойству трапеции, основания параллельны), то треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle AKD$ подобны. Это следует из того, что $\angle K$ является общим углом для обоих треугольников, а $\angle KBC = \angle KAD$ и $\angle KCB = \angle KDA$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $AK$ и $DK$ соответственно.

Используем заданное соотношение $KC : CD = 1 : 3$. Пусть $KC = x$. Тогда $CD = 3x$.

Длина отрезка $KD$ равна сумме длин $KC$ и $CD$:

$KD = KC + CD = x + 3x = 4x$.

Коэффициент подобия $k$ треугольника $\triangle BKC$ к треугольнику $\triangle AKD$ равен отношению соответствующих сторон:

$k = \frac{KC}{KD} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, $k = \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{AK} = \frac{1}{4}$.

а) стороны $\triangle BKC$

1. Найдем сторону $KC$.

Из соотношения $KC : CD = 1 : 3$, мы можем записать $KC = \frac{1}{3} CD$.

Подставим значение $CD = 6$ см:

$KC = \frac{1}{3} \cdot 6$ см

$KC = 2$ см

2. Найдем сторону $BC$.

Используем коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{4}$:

$BC = \frac{1}{4} \cdot AD$

Подставим значение $AD = 10$ см:

$BC = \frac{1}{4} \cdot 10$ см

$BC = 2.5$ см

3. Найдем сторону $BK$.

Используем коэффициент подобия $k = \frac{BK}{AK} = \frac{1}{4}$. Заметим, что $AK = AB + BK$.

$\frac{BK}{AB + BK} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части на $4(AB + BK)$:

$4 \cdot BK = AB + BK$

Вычтем $BK$ из обеих частей:

$3 \cdot BK = AB$

Подставим значение $AB = 4.5$ см:

$3 \cdot BK = 4.5$ см

$BK = \frac{4.5}{3}$ см

$BK = 1.5$ см

Ответ: Стороны $\triangle BKC$ равны $BK = 1.5$ см, $KC = 2$ см, $BC = 2.5$ см.

б) высоту трапеции $ABCD$

Пусть $H_{BKC}$ – высота треугольника $\triangle BKC$ из вершины $K$ на сторону $BC$. По условию, $H_{BKC} = KN = 1.2$ см.

Пусть $H_{AKD}$ – высота треугольника $\triangle AKD$ из вершины $K$ на сторону $AD$.

Так как $\triangle BKC \sim \triangle AKD$, то отношение их высот также равно коэффициенту подобия:

$\frac{H_{BKC}}{H_{AKD}} = k = \frac{1}{4}$

Подставим значение $H_{BKC} = 1.2$ см:

$\frac{1.2}{H_{AKD}} = \frac{1}{4}$

$H_{AKD} = 4 \cdot 1.2$ см

$H_{AKD} = 4.8$ см

Высота трапеции $ABCD$ (обозначим ее $h_{трапеции}$) – это расстояние между параллельными основаниями $BC$ и $AD$. Эта высота является разностью высот треугольников $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$:

$h_{трапеции} = H_{AKD} - H_{BKC}$

$h_{трапеции} = 4.8 \text{ см} - 1.2 \text{ см}$

$h_{трапеции} = 3.6$ см

Ответ: Высота трапеции $ABCD$ равна $3.6$ см.