Страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

201. Прямоугольник $ABCD$ разбит на прямоугольники, как показано на рисунке 136. Подобны ли прямоугольники $ABCD$ и $AMNK$? Ответ объясните.

Рисунок 136

Дано:

Прямоугольник $ABCD$ разбит на сетку из $4 \times 3$ одинаковых квадратов.

Прямоугольник $AMNK$ является частью прямоугольника $ABCD$ и состоит из $3 \times 2$ одинаковых квадратов из той же сетки.

Найти:

Подобны ли прямоугольники $ABCD$ и $AMNK$?

Решение:

Пусть длина стороны одного маленького квадрата равна $x$.

Определим размеры прямоугольника $ABCD$:

Сторона $AB$ состоит из 3 маленьких квадратов, поэтому $AB = 3x$.

Сторона $AD$ состоит из 4 маленьких квадратов, поэтому $AD = 4x$.

Отношение длин сторон прямоугольника $ABCD$ (большей к меньшей): $\frac{AD}{AB} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$.

Определим размеры прямоугольника $AMNK$:

Сторона $AM$ состоит из 2 маленьких квадратов, поэтому $AM = 2x$.

Сторона $AK$ состоит из 3 маленьких квадратов, поэтому $AK = 3x$.

Отношение длин сторон прямоугольника $AMNK$ (большей к меньшей): $\frac{AK}{AM} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$.

Два прямоугольника подобны, если отношение их соответствующих сторон одинаково. Сравним полученные отношения:

Для прямоугольника $ABCD$: $\frac{4}{3}$

Для прямоугольника $AMNK$: $\frac{3}{2}$

Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю или перекрестно умножим:

$4 \times 2 = 8$

$3 \times 3 = 9$

Так как $8 \neq 9$, то $\frac{4}{3} \neq \frac{3}{2}$.

Следовательно, отношения длин сторон этих двух прямоугольников не равны, что означает, что они не подобны.

Ответ:

Нет, прямоугольники $ABCD$ и $AMNK$ не подобны.

202. На плане в масштабе $1 : 10\,000$ участок пастбища имеет периметр 12 см. Сколько метров проволоки понадобится для того, чтобы огородить этот участок в 2 ряда?

Рисунок 136

Дано:

Масштаб плана $M = 1 : 10000$
Периметр участка на плане $P_{\text{план}} = 12 \text{ см}$
Количество рядов проволоки $N = 2$

Перевод в СИ:
$P_{\text{план}} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Общая длина проволоки $L$ в метрах.

Решение:

1. Сначала найдем реальный периметр участка пастбища. Масштаб $1 : 10000$ означает, что 1 единица на плане соответствует 10000 таким же единицам в реальности.Реальный периметр $P_{\text{реал}}$ можно найти, умножив периметр на плане на число, указывающее, во сколько раз реальные размеры больше размеров на плане:$P_{\text{реал}} = P_{\text{план}} \times 10000$$P_{\text{реал}} = 12 \text{ см} \times 10000 = 120000 \text{ см}$

2. Переведем реальный периметр из сантиметров в метры, так как в вопросе спрашивается, сколько метров проволоки понадобится. В одном метре 100 сантиметров, поэтому делим полученное значение на 100:$P_{\text{реал}} = \frac{120000 \text{ см}}{100 \text{ см/м}} = 1200 \text{ м}$

3. Для того чтобы огородить участок в 2 ряда, необходимо умножить реальный периметр участка на количество рядов проволоки:$L = P_{\text{реал}} \times N$$L = 1200 \text{ м} \times 2 = 2400 \text{ м}$

Ответ: 2400 м.

уровень В

203. Чтобы определить расстояние от точки $A$ до недоступной точки $B$, на местности выбрали точку $C$ и измерили отрезок $AC$ и углы $BAC$ и $BCA$. Затем на бумаге построили $\Delta A_1 B_1 C_1$, подобный $\Delta ABC$, у которого $A_1 C_1 = 3$ см, $A_1 B_1 = 15$ см. Найдите расстояние $AB$, если $AC = 21$ м.

Дано:

$A_1C_1 = 3 \text{ см}$

$A_1B_1 = 15 \text{ см}$

$AC = 21 \text{ м}$

Перевод в СИ:

$A_1C_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$A_1B_1 = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$AC = 21 \text{ м}$

Найти:

$AB$

Решение:

Поскольку треугольник $\Delta A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $\Delta ABC$, отношения соответствующих сторон равны. Это означает, что коэффициент подобия $k$ одинаков для всех соответствующих сторон:

$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Подставим известные значения в эту пропорцию, используя значения, переведенные в систему СИ (метры), для обеспечения согласованности единиц измерения:

$\frac{0.03 \text{ м}}{21 \text{ м}} = \frac{0.15 \text{ м}}{AB}$

Теперь выразим $AB$ из этой пропорции. Для этого умножим обе части на $AB$ и на $21$, а затем разделим на $0.03$:

$AB = \frac{0.15 \text{ м} \times 21 \text{ м}}{0.03 \text{ м}}$

Выполним вычисления:

$AB = \frac{3.15}{0.03}$

$AB = 105$

Поскольку все исходные длины были переведены в метры, искомое расстояние $AB$ также будет выражено в метрах.

Ответ:

Расстояние $AB$ равно $105 \text{ м}$.

204. а) На рисунке 137 показано, как можно измерить ширину $CC_1$ реки, рассматривая два подобных треугольника $ABC$ и $AB_1C_1$. Найдите $CC_1$, если $AB = 25$ м, $AB_1 = 2$ м, $AC_1 = 3$ м.

б) Постройте $\triangle ABC$ и его биссектрису $BD$. Проведите луч $AB$ и прямую $CM$, пересекающую его в точке $M$ и параллельную $BD$. Сравните отношения: 1) $\frac{AB}{AD}$ и $\frac{BC}{DC}$; 2) $\frac{AB + BC}{AB}$ и $\frac{MC}{BD}$.

Рисунок 137

а)

Дано

Треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны.
$AB = 25$ м
$AB_1 = 2$ м
$AC_1 = 3$ м

Перевод в СИ

Все величины даны в метрах (СИ), перевод не требуется:
$AB = 25$ м
$AB_1 = 2$ м
$AC_1 = 3$ м

Найти:

Ширина реки $CC_1$

Решение

По условию, треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны. Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: $\frac{AB}{AB_1} = \frac{AC}{AC_1}$ Подставим известные значения: $\frac{25}{2} = \frac{AC}{3}$ Выразим $AC$: $AC = \frac{25 \times 3}{2} = \frac{75}{2} = 37.5$ м Ширина реки $CC_1$ представляет собой разность длин отрезков $AC$ и $AC_1$: $CC_1 = AC - AC_1$ $CC_1 = 37.5 - 3 = 34.5$ м

Ответ: $34.5$ м

б)

Решение

Построим $\triangle ABC$ и его биссектрису $BD$. Проведем луч $AB$ и прямую $CM$, пересекающую его в точке $M$ и параллельную $BD$.

1) Сравним отношения $\frac{AB}{AD}$ и $\frac{BC}{DC}$.

По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса $BD$ делит противолежащую сторону $AC$ в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника. То есть: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$ Перегруппировав это равенство, получим: $\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC}$ Тогда их обратные значения также равны: $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DC}$

Ответ: Отношения равны.

2) Сравним отношения $\frac{AB+BC}{AB}$ и $\frac{MC}{BD}$.

По условию, прямая $CM$ параллельна биссектрисе $BD$ ($CM \parallel BD$), и точка $M$ лежит на луче $AB$. Это означает, что точка $B$ находится между $A$ и $M$ (или $M$ совпадает с $B$). Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle AMC$. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников. Так как $BD \parallel MC$, то соответственные углы при секущей $AM$ равны: $\angle ABD = \angle AMC$. Также соответственные углы при секущей $AC$ равны: $\angle ADB = \angle ACM$. Следовательно, $\triangle ABD \sim \triangle AMC$ по трем углам. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон: $\frac{AB}{AM} = \frac{BD}{MC}$ Отсюда выразим отношение $\frac{MC}{BD}$: $\frac{MC}{BD} = \frac{AM}{AB}$ Теперь рассмотрим $\triangle BCM$. Поскольку $CM \parallel BD$ и $BC$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle DBC$ и $\angle BCM$ равны: $\angle DBC = \angle BCM$. Также, так как $BD$ - биссектриса $\angle ABC$, то $\angle ABD = \angle DBC$. Используя свойство параллельных прямых $BD \parallel MC$ и секущей $AM$, соответственные углы $\angle ABD$ и $\angle CMB$ равны: $\angle ABD = \angle CMB$. Из этих равенств получаем: $\angle BCM = \angle DBC = \angle ABD = \angle CMB$ Таким образом, $\angle BCM = \angle CMB$. Это означает, что $\triangle BCM$ является равнобедренным треугольником с основанием $BC$. Следовательно, стороны $BC$ и $BM$ равны: $BC = BM$. Так как точка $M$ лежит на луче $AB$ за точкой $B$, то длина отрезка $AM$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BM$: $AM = AB + BM$ Подставим $BM = BC$: $AM = AB + BC$ Теперь вернемся к отношению $\frac{MC}{BD}$: $\frac{MC}{BD} = \frac{AM}{AB}$ Подставим $AM = AB + BC$: $\frac{MC}{BD} = \frac{AB+BC}{AB}$ Таким образом, оба сравниваемых отношения равны.

Ответ: Отношения равны.