Номер 207, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

207. В ромб вписан квадрат так, что его вершины лежат на сторонах ромба. Найдите периметр этого квадрата, если сторона ромба равна 8 см, а его острый угол $60^\circ$.

Дано:

Сторона ромба $a = 8 \text{ см}$

Острый угол ромба $\alpha = 60^\circ$

Найти:

Периметр квадрата $P_{кв}$

Решение:

Пусть ромб обозначен $ABCD$, а его острый угол $\angle A = 60^\circ$. Тогда тупой угол $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Пусть в ромб вписан квадрат $PQRS$, где вершины $P$, $Q$, $R$, $S$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Из-за симметрии ромба и вписанного в него квадрата, отрезки, отсекаемые вершинами квадрата от сторон ромба у острых углов, будут равны. То есть, $AP = AS$. Аналогично, $CQ = CR$.

Также, отрезки, отсекаемые у тупых углов, будут равны: $BP = BQ$ и $DR = DS$.

Более того, в силу центральной симметрии, $AP = CQ$ и $AS = CR$. И $BP = DR$ и $BQ = DS$.

Следовательно, все четыре треугольника по углам ромба: $\triangle APS$, $\triangle BPQ$, $\triangle CRQ$, $\triangle DRS$ - конгруэнтны.

Пусть сторона квадрата равна $x$. То есть $PQ = QR = RS = SP = x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APS$. Угол $\angle A = 60^\circ$. Поскольку $\triangle APS$ и $\triangle BPQ$ конгруэнтны, и $PS = PQ = x$, то $AP = AS$ и $BP = BQ$.

Пусть $AP = AS = y$.

Применим теорему косинусов для $\triangle APS$:

$SP^2 = AP^2 + AS^2 - 2 \cdot AP \cdot AS \cdot \cos(\angle A)$

$x^2 = y^2 + y^2 - 2 \cdot y \cdot y \cdot \cos(60^\circ)$

$x^2 = 2y^2 - 2y^2 \cdot \frac{1}{2}$

$x^2 = 2y^2 - y^2$

$x^2 = y^2$

$x = y$ (поскольку длина является положительной величиной).

Таким образом, $AP = AS = x$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BPQ$. Угол $\angle B = 120^\circ$.

Сторона ромба $a = AB = AP + PB = x + PB = 8$. Значит $PB = 8 - x$.

Поскольку $BP = BQ$, то $BQ = 8 - x$.

Применим теорему косинусов для $\triangle BPQ$:

$PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(\angle B)$

$x^2 = (8-x)^2 + (8-x)^2 - 2 \cdot (8-x) \cdot (8-x) \cdot \cos(120^\circ)$

$x^2 = 2(8-x)^2 - 2(8-x)^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x^2 = 2(8-x)^2 + (8-x)^2$

$x^2 = 3(8-x)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \sqrt{3}(8-x)$

$x = 8\sqrt{3} - x\sqrt{3}$

$x + x\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

$x(1 + \sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$

$x = \frac{8\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:

$x = \frac{8\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$

$x = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

$x = \frac{8(3-\sqrt{3})}{3-1}$

$x = \frac{8(3-\sqrt{3})}{2}$

$x = 4(3-\sqrt{3})$ см.

Периметр квадрата $P_{кв}$ равен $4x$.

$P_{кв} = 4 \cdot 4(3-\sqrt{3})$

$P_{кв} = 16(3-\sqrt{3})$ см.

Ответ:

Периметр квадрата $P_{кв} = 16(3-\sqrt{3})$ см.