Номер 209, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень А

209. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 4,8 см и боковой стороной 4 см.

Дано:

Треугольник равнобедренный

Основание $a = 4.8 \text{ см}$

Боковая сторона $b = 4 \text{ см}$

Перевод в СИ:
$a = 4.8 \text{ см} = 0.048 \text{ м}$
$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной окружности $R$

Решение:

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле:
$R = \frac{abc}{4S}$
где $a, b, c$ - стороны треугольника, а $S$ - его площадь.

Так как треугольник равнобедренный, то две его стороны равны. Пусть боковые стороны равны $b$, тогда $c = b = 4 \text{ см}$.
Для нахождения площади $S$ нам понадобится высота $h_a$, опущенная на основание $a$. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой, поэтому она делит основание пополам.

Найдем половину основания:
$\frac{a}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \text{ см}$

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $h_a$ в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, половиной основания и высотой:
$h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$
$h_a = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$
$h_a = \sqrt{4^2 - (2.4)^2}$
$h_a = \sqrt{16 - 5.76}$
$h_a = \sqrt{10.24}$
$h_a = 3.2 \text{ см}$

Теперь найдем площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$
$S = \frac{1}{2} \cdot 4.8 \cdot 3.2$
$S = 2.4 \cdot 3.2$
$S = 7.68 \text{ см}^2$

Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной окружности $R$:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$
Поскольку $c=b$, формула примет вид:
$R = \frac{a \cdot b^2}{4S}$
$R = \frac{4.8 \cdot 4^2}{4 \cdot 7.68}$
$R = \frac{4.8 \cdot 16}{30.72}$
$R = \frac{76.8}{30.72}$
$R = 2.5 \text{ см}$

Ответ:

Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен $2.5 \text{ см}$.