Номер 216, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

216. В равнобедренной трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна ее боковой стороне $CD$ и делит высоту $BH$ трапеции на отрезки $BK = 2,2$ см, $KH = 1$ см. Найдите площадь этой трапеции с точностью до $0,1 \text{ см}^2$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ равнобедренная, $AD \parallel BC$.

Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

Высота $BH$ трапеции. Точка $K$ - пересечение диагонали $AC$ и высоты $BH$.

Длины отрезков высоты: $BK = 2.2$ см, $KH = 1$ см.

Перевод в СИ:

$BK = 2.2 \text{ см} = 0.022 \text{ м}$

$KH = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ с точностью до $0.1$ см$^2$.

Решение:

1. Найдем полную длину высоты трапеции $BH$: $BH = BK + KH = 2.2 \text{ см} + 1 \text{ см} = 3.2 \text{ см}$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle HKA$. Поскольку $BC \parallel AD$ и $BH$ является высотой, то $BH \perp AD$ и $BH \perp BC$. Следовательно, $\angle KBC = 90^\circ$ и $\angle KHA = 90^\circ$. Углы $\angle BKC$ и $\angle HKA$ являются вертикальными, поэтому они равны. Таким образом, $\triangle BKC$ подобен $\triangle HKA$ по двум углам (прямой угол и вертикальные углы).

3. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{BC}{AH} = \frac{BK}{KH}$

Подставляем известные значения:

$\frac{BC}{AH} = \frac{2.2}{1} = 2.2$

Пусть длина отрезка $AH = x$. Тогда $BC = 2.2x$.

4. Для равнобедренной трапеции $ABCD$, где $BH$ - высота из вершины $B$ на основание $AD$, и пусть $CP$ - высота из вершины $C$ на основание $AD$ (тогда $P$ лежит на $AD$ и $CP \parallel BH$). В этом случае $AH = PD = x$ и $BC = HP = 2.2x$.

Длина большего основания $AD = AH + HP + PD = x + 2.2x + x = 4.2x$.

5. Площадь трапеции $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot BH$.

$S = \frac{4.2x + 2.2x}{2} \cdot 3.2 = \frac{6.4x}{2} \cdot 3.2 = 3.2x \cdot 3.2 = 10.24x$ см$^2$.

6. Используем условие $AC \perp CD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Для определения значения $x$ воспользуемся методом координат. Разместим начало координат в точке $H$. Тогда координаты вершин будут:

$A(-x, 0)$ (поскольку $AH = x$ и $A$ находится левее $H$)

$B(0, 3.2)$ (поскольку $H$ - основание высоты $BH$)

$C(2.2x, 3.2)$ (поскольку $BC = 2.2x$ и $BC \parallel AD$, а $P$ - проекция $C$ на $AD$, $HP = BC$)

$D(3.2x, 0)$ (поскольку $PD = x$ и $P$ имеет абсциссу $2.2x$, то $D$ имеет абсциссу $2.2x+x=3.2x$)

Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $(x_C - x_A, y_C - y_A) = (2.2x - (-x), 3.2 - 0) = (3.2x, 3.2)$.

Вектор $\vec{CD}$ имеет координаты: $(x_D - x_C, y_D - y_C) = (3.2x - 2.2x, 0 - 3.2) = (x, -3.2)$.

Поскольку $AC \perp CD$, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = (3.2x)(x) + (3.2)(-3.2) = 0$

$3.2x^2 - 3.2^2 = 0$

$3.2x^2 = 3.2^2$

$x^2 = 3.2$

$x = \sqrt{3.2}$

7. Подставим найденное значение $x$ в формулу площади трапеции:

$S = 10.24 \cdot \sqrt{3.2}$

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{3.2} \approx 1.788854382$

$S \approx 10.24 \cdot 1.788854382 \approx 18.3129688$

8. Округлим результат до $0.1$ см$^2$:

$S \approx 18.3$ см$^2$.

Ответ:

$18.3$ см$^2$.