Номер 221, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

221. В окружности проведены диаметр $AB$ и параллельные между собой хорды $AC$ и $BD$. Постройте, если возможно, центр и ось симметрии этих хорд.

Дано:

Окружность, диаметр $AB$, хорды $AC$ и $BD$, причем $AC \parallel BD$.

Найти:

Построить центр окружности и ось симметрии хорд $AC$ и $BD$.

Решение

Центр окружности:

1. Поскольку $AB$ является диаметром окружности, центр окружности $O$ лежит на этом диаметре и является его серединой.

2. Для нахождения середины отрезка $AB$ построим его серединный перпендикуляр:

a) Из точки $A$ как центра проведем дугу радиусом, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$.

b) Из точки $B$ как центра проведем такую же дугу тем же радиусом, так чтобы она пересеклась с первой дугой в двух точках.

c) Обозначим точки пересечения этих дуг $P_1$ и $P_2$.

d) Проведем прямую через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

3. Точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком $AB$ является центром окружности. Обозначим эту точку $O$.

Ответ: Центр окружности построен как середина диаметра $AB$.

Ось симметрии этих хорд:

1. Известно, что хорды $AC$ и $BD$ параллельны. Ось симметрии двух параллельных хорд в окружности - это прямая, которая проходит через центр окружности и перпендикулярна обеим хордам.

2. Для построения такой оси симметрии, достаточно построить серединный перпендикуляр к одной из хорд, например, к хорде $AC$. Этот серединный перпендикуляр будет проходить через центр окружности $O$ (который мы уже построили) и будет являться искомой осью симметрии.

3. Построение серединного перпендикуляра к хорде $AC$:

a) Из точки $A$ как центра проведем дугу радиусом, который заведомо больше половины длины хорды $AC$.

b) Из точки $C$ как центра проведем такую же дугу тем же радиусом, так чтобы она пересеклась с первой дугой в двух точках.

c) Обозначим точки пересечения этих дуг $Q_1$ и $Q_2$.

d) Проведем прямую через точки $Q_1$ и $Q_2$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к хорде $AC$.

4. Эта прямая проходит через центр $O$ (по свойству, что серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности) и перпендикулярна хорде $AC$. Поскольку хорда $AC$ параллельна хорде $BD$, эта прямая также перпендикулярна хорде $BD$. Таким образом, эта прямая является осью симметрии для параллельных хорд $AC$ и $BD$. Обозначим ее $L$.

Ответ: Ось симметрии хорд $AC$ и $BD$ построена как серединный перпендикуляр к хорде $AC$ (или $BD$), проходящий через центр окружности.