Номер 220, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

220. В $ \triangle ABC $ $ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $ – медианы, $ M $ – точка их пересечения, $ M_1 $ – точка, симметричная точке $ M $ относительно точки $ B_1 $:

а) докажите, что $ \triangle AMM_1 $ подобен $ \triangle DPF $, стороны которого равны медианам $ \triangle ABC $;

б) найдите отношение площадей этих треугольников;

в) какую часть площади $ \triangle ABC $ составляет площадь $ \triangle DPF $?

a) докажите, что $\Delta AMM_1$ подобен $\Delta DPF$, стороны которого равны медианам $\Delta ABC$;

Дано:

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Точка $M$ — точка их пересечения (центроид). Точка $M_1$ — точка, симметричная $M$ относительно $B_1$. Треугольник $DPF$ имеет стороны, равные медианам треугольника $ABC$. Пусть $m_a = AA_1$, $m_b = BB_1$, $m_c = CC_1$ — длины медиан.

Найти:

Доказать, что $\Delta AMM_1$ подобен $\Delta DPF$.

Решение:

1.

Определим длины сторон треугольника $AMM_1$.

По свойству медиан, точка пересечения медиан $M$ делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно:

• $AM = \frac{2}{3} AA_1 = \frac{2}{3} m_a$.
• $BM = \frac{2}{3} BB_1 = \frac{2}{3} m_b$, и $MB_1 = \frac{1}{3} BB_1 = \frac{1}{3} m_b$.
• $CM = \frac{2}{3} CC_1 = \frac{2}{3} m_c$.

2.

Точка $M_1$ симметрична точке $M$ относительно $B_1$. Это означает, что $B_1$ является серединой отрезка $MM_1$.

Тогда $MM_1 = 2 \cdot MB_1 = 2 \cdot \frac{1}{3} m_b = \frac{2}{3} m_b$.

3.

Рассмотрим четырехугольник $AMCM_1$. Поскольку $B_1$ — середина $AC$ (так как $BB_1$ — медиана) и $B_1$ — середина $MM_1$ (по определению симметрии), диагонали $AC$ и $MM_1$ этого четырехугольника пересекаются в их середине. Следовательно, $AMCM_1$ является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны равны. Значит, $AM_1 = MC$.

Мы знаем, что $MC = \frac{2}{3} m_c$. Таким образом, $AM_1 = \frac{2}{3} m_c$.

4.

Итак, стороны треугольника $AMM_1$ имеют длины:

• $AM = \frac{2}{3} m_a$
• $MM_1 = \frac{2}{3} m_b$
• $AM_1 = \frac{2}{3} m_c$

5.

По условию, стороны треугольника $DPF$ равны медианам треугольника $ABC$, то есть $m_a$, $m_b$, $m_c$.

Сравним отношения соответствующих сторон треугольников $AMM_1$ и $DPF$:

• $\frac{AM}{\text{сторона } DPF \text{ соответствующая } m_a} = \frac{\frac{2}{3} m_a}{m_a} = \frac{2}{3}$
• $\frac{MM_1}{\text{сторона } DPF \text{ соответствующая } m_b} = \frac{\frac{2}{3} m_b}{m_b} = \frac{2}{3}$
• $\frac{AM_1}{\text{сторона } DPF \text{ соответствующая } m_c} = \frac{\frac{2}{3} m_c}{m_c} = \frac{2}{3}$

Все три отношения сторон равны одному и тому же числу $k = \frac{2}{3}$. По третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам), $\Delta AMM_1$ подобен $\Delta DPF$ с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$.

Ответ:

б) найдите отношение площадей этих треугольников;

Дано:

Треугольники $\Delta AMM_1$ и $\Delta DPF$ подобны с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$ (доказано в пункте а).

Найти:

Отношение площадей $\frac{S_{AMM_1}}{S_{DPF}}$.

Решение:

Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

В данном случае коэффициент подобия $k = \frac{2}{3}$.

Следовательно, $\frac{S_{AMM_1}}{S_{DPF}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

в) какую часть площади $\Delta ABC$ составляет площадь $\Delta DPF$?

Дано:

Треугольник $ABC$. $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — медианы. $M$ — центроид. $M_1$ — точка, симметричная $M$ относительно $B_1$. Треугольник $DPF$ со сторонами, равными медианам $AA_1, BB_1, CC_1$.

Найти:

Какую часть площади $\Delta ABC$ составляет площадь $\Delta DPF$, то есть $\frac{S_{DPF}}{S_{ABC}}$.

Решение:

1.

Найдем площадь треугольника $AMM_1$ в зависимости от площади $S_{ABC}$.

Точка $M$ (центроид) делит медианы в отношении $2:1$. Медиана $BB_1$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника: $S_{ABB_1} = S_{CBB_1} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. $AM$ — это отрезок медианы $AA_1$. $M$ — точка пересечения медиан. $B_1M$ — часть медианы $BB_1$.

Мы знаем, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. В частности, $S_{AMB_1} = \frac{1}{6}S_{ABC}$.

В пункте а) мы установили, что $MM_1 = 2 \cdot MB_1$. Рассмотрим треугольники $AMB_1$ и $AMM_1$. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую, содержащую основания $MB_1$ и $MM_1$.

Площадь треугольника прямо пропорциональна длине его основания при одинаковой высоте.$S_{AMM_1} = \frac{1}{2} \cdot MM_1 \cdot h_A$, где $h_A$ — высота из $A$ на $BB_1$.$S_{AMB_1} = \frac{1}{2} \cdot MB_1 \cdot h_A$.Так как $MM_1 = 2 \cdot MB_1$, то $S_{AMM_1} = 2 \cdot S_{AMB_1}$.

Подставим $S_{AMB_1} = \frac{1}{6}S_{ABC}$:$S_{AMM_1} = 2 \cdot \frac{1}{6}S_{ABC} = \frac{1}{3}S_{ABC}$.

2.

Используем отношение площадей из пункта б).

Из пункта б) мы знаем, что $\frac{S_{AMM_1}}{S_{DPF}} = \frac{4}{9}$.

Отсюда $S_{DPF} = \frac{9}{4} S_{AMM_1}$.

3.

Подставим выражение для $S_{AMM_1}$ из шага 1:

$S_{DPF} = \frac{9}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}S_{ABC}\right) = \frac{9}{12} S_{ABC} = \frac{3}{4} S_{ABC}$.

Таким образом, площадь треугольника $DPF$ составляет $\frac{3}{4}$ части площади треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{3}{4}$