Номер 217, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

217. В равнобедренном $\triangle ABC$ $AC = BC = 8$ см, $\angle C = 36^\circ$, $BD$ – биссектриса. Докажите, что $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ и найдите сторону $AB$.

Дано:

• Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AC = BC = 8$ см.

• Угол $\angle C = 36^\circ$.

• $BD$ — биссектриса угла $\angle B$.

Перевод в СИ:

• $AC = BC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

• Углы в градусах не требуют перевода в СИ, но при необходимости $36^\circ = \frac{\pi}{5} \text{ рад}$.

Найти:

• Доказать, что $\triangle ABD \sim \triangle ACB$.

• Найти сторону $AB$.

Решение:

Рассмотрим равнобедренный $\triangle ABC$.

Поскольку $AC = BC$, то углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle B$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$2\angle B + 36^\circ = 180^\circ$

$2\angle B = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

$\angle B = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$

Следовательно, $\angle A = 72^\circ$ и $\angle B = 72^\circ$.

По условию, $BD$ — биссектриса угла $\angle B$. Это означает, что она делит угол $\angle B$ пополам:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}(72^\circ) = 36^\circ$.

Докажите, что $\triangle ABD \sim \triangle ACB$

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACB$:

• Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников ($\angle DAB = \angle CAB = 72^\circ$).

• Угол $\angle ABD = 36^\circ$ (как половина угла $\angle B$).

• Угол $\angle C = 36^\circ$ (дано).

Таким образом, мы имеем две пары равных углов: $\angle A = \angle A$ и $\angle ABD = \angle C = 36^\circ$.

По признаку подобия треугольников по двум углам (AA), $\triangle ABD \sim \triangle ACB$.

Ответ: Доказано.

Найти сторону $AB$

Из подобия треугольников $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CB} = \frac{AD}{AB}$

Воспользуемся отношением $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$, из которого следует:

$AB^2 = AC \cdot AD$

Теперь рассмотрим углы в $\triangle ABD$:

• $\angle A = 72^\circ$

• $\angle ABD = 36^\circ$

• $\angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 180^\circ - 72^\circ - 36^\circ = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Поскольку $\angle A = \angle ADB = 72^\circ$, $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $AD$. Следовательно, $AB = BD$.

Рассмотрим углы в $\triangle BCD$:

• $\angle C = 36^\circ$

• $\angle CBD = 36^\circ$ (как половина угла $\angle B$).

Поскольку $\angle C = \angle CBD = 36^\circ$, $\triangle BCD$ является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, $BD = CD$.

Из $AB = BD$ и $BD = CD$ следует, что $AB = CD$.

Мы знаем, что $AC = AD + CD$. Подставим $CD = AB$:

$AC = AD + AB$

Отсюда выразим $AD$: $AD = AC - AB$.

Теперь подставим это выражение для $AD$ в уравнение $AB^2 = AC \cdot AD$:

$AB^2 = AC \cdot (AC - AB)$

Пусть $AB = x$ и $AC = 8$ см. Уравнение примет вид:

$x^2 = 8(8 - x)$

$x^2 = 64 - 8x$

$x^2 + 8x - 64 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-64)}}{2(1)}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 256}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{320}}{2}$

Упростим $\sqrt{320}$:

$\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$

Подставим это обратно в формулу для $x$:

$x = \frac{-8 \pm 8\sqrt{5}}{2}$

Так как длина стороны должна быть положительной, выбираем положительный корень:

$x = \frac{-8 + 8\sqrt{5}}{2} = -4 + 4\sqrt{5} = 4(\sqrt{5} - 1)$

Следовательно, $AB = 4(\sqrt{5} - 1)$ см.

Ответ: $AB = 4(\sqrt{5} - 1)$ см.