Номер 219, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

219. В треугольнике ABC $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 50^\circ$, $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Докажите, что $\frac{b}{c} = \frac{c}{a+b}$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Угол $\angle A = 30^\circ$.

Угол $\angle B = 50^\circ$.

Длины сторон: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Перевод в СИ:

Данная задача не содержит физических величин, требующих перевода в систему СИ.

Найти:

Доказать, что $\frac{b}{c} = \frac{c}{a+b}$.

Решение:

Найдем величину третьего угла треугольника $\angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$
$\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 80^\circ$
$\angle C = 100^\circ$

Применим теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянной величиной для данного треугольника:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Выразим стороны $a$ и $b$ через сторону $c$ и синусы соответствующих углов:

$b = c \frac{\sin B}{\sin C}$
$a = c \frac{\sin A}{\sin C}$

Подставим эти выражения в правую часть доказываемого равенства $\frac{c}{a+b}$:

Правая часть $= \frac{c}{c \frac{\sin A}{\sin C} + c \frac{\sin B}{\sin C}}$

Вынесем $c$ за скобки в знаменателе:

Правая часть $= \frac{c}{c \left(\frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin B}{\sin C}\right)}$

Сократим $c$ в числителе и знаменателе:

Правая часть $= \frac{1}{\frac{\sin A + \sin B}{\sin C}}$
Правая часть $= \frac{\sin C}{\sin A + \sin B}$

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства $\frac{b}{c}$:

Левая часть $= \frac{b}{c}$

Подставим $b = c \frac{\sin B}{\sin C}$:

Левая часть $= \frac{c \frac{\sin B}{\sin C}}{c}$
Левая часть $= \frac{\sin B}{\sin C}$

Для доказательства исходного равенства $\frac{b}{c} = \frac{c}{a+b}$ необходимо доказать эквивалентное равенство:

$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\sin C}{\sin A + \sin B}$

Перемножим крест-на-крест:

$\sin B (\sin A + \sin B) = \sin^2 C$

Подставим известные значения углов $A=30^\circ$, $B=50^\circ$, $C=100^\circ$:

$\sin 50^\circ (\sin 30^\circ + \sin 50^\circ) = \sin^2 100^\circ$

Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Также, $\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.
Подставим эти значения:

$\sin 50^\circ \left(\frac{1}{2} + \sin 50^\circ\right) = \sin^2 80^\circ$
$\frac{1}{2} \sin 50^\circ + \sin^2 50^\circ = \sin^2 80^\circ$

Используем тригонометрическую формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$:

$\frac{1}{2} \sin 50^\circ + \frac{1 - \cos (2 \cdot 50^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos (2 \cdot 80^\circ)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sin 50^\circ + (1 - \cos 100^\circ) = (1 - \cos 160^\circ)$
$\sin 50^\circ - \cos 100^\circ = - \cos 160^\circ$

Используем формулу приведения $\cos (180^\circ - x) = -\cos x$. Для $x=20^\circ$, $\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ$.
Подставим это в уравнение:

$\sin 50^\circ - \cos 100^\circ = - (-\cos 20^\circ)$
$\sin 50^\circ - \cos 100^\circ = \cos 20^\circ$

Далее, используем формулу приведения $\cos (90^\circ + x) = -\sin x$. Для $x=10^\circ$, $\cos 100^\circ = -\sin 10^\circ$.
Подставим это:

$\sin 50^\circ - (-\sin 10^\circ) = \cos 20^\circ$
$\sin 50^\circ + \sin 10^\circ = \cos 20^\circ$

Применим формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.
Левая часть равенства:

$2 \sin\left(\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{50^\circ-10^\circ}{2}\right)$
$2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ}{2}\right)$
$2 \sin 30^\circ \cos 20^\circ$

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ$
$\cos 20^\circ$

Таким образом, левая часть равна $\cos 20^\circ$, что совпадает с правой частью равенства. Следовательно, исходное равенство доказано.

Ответ:

Доказано.