Номер 297, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

297. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 см и 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины угла при его основании.

Дано

В равнобедренном треугольнике $ABC$:
Основание $AC = 5$ см
Боковые стороны $AB = BC = 20$ см
$AD$ - биссектриса угла $A$ (угла при основании)

Перевод в систему СИ:
$AC = 5$ см $= 0.05$ м
$AB = BC = 20$ см $= 0.20$ м

Найти:

Длину биссектрисы $AD$.

Решение

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где основание $AC = 5$ см, а боковые стороны $AB = BC = 20$ см. Необходимо найти длину биссектрисы $AD$, проведенной из вершины угла при основании $A$ к стороне $BC$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AD$ угла $A$, которая делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$, справедливо отношение:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения:
$\frac{BD}{DC} = \frac{20}{5}$
$\frac{BD}{DC} = 4$

Следовательно, $BD = 4 \cdot DC$.

Также мы знаем, что $BD + DC = BC$. Так как $BC = 20$ см, получаем уравнение:
$4 \cdot DC + DC = 20$
$5 \cdot DC = 20$
$DC = \frac{20}{5}$
$DC = 4$ см

Теперь найдем $BD$:
$BD = 4 \cdot DC = 4 \cdot 4 = 16$ см

Для нахождения длины биссектрисы $AD$ воспользуемся формулой длины биссектрисы угла треугольника. Если биссектриса $l_a$ проведена из вершины $A$ к стороне $a$, и делит ее на отрезки $m$ и $n$, а прилежащие стороны равны $b$ и $c$, то:
$l_a^2 = bc - mn$

В нашем случае, $AD$ - биссектриса. Стороны, образующие угол $A$, это $AB = c = 20$ см и $AC = b = 5$ см. Отрезки, на которые биссектриса делит сторону $BC$, это $BD = m = 16$ см и $DC = n = 4$ см.

Подставим значения в формулу:
$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$
$AD^2 = 20 \cdot 5 - 16 \cdot 4$
$AD^2 = 100 - 64$
$AD^2 = 36$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $AD$:
$AD = \sqrt{36}$
$AD = 6$ см

Ответ:

Длина биссектрисы равна 6 см.